Os dados seguintes dão as tensões de ruptura de corpos de prova de concreto, dos quais a metade recebeu aditivo especial para endurecimento rápido. Verificar se o aditivo teve efeito sobre a resistência do concreto.
Com aditivo 86 74 89 89 94 96 89 94 96 92
Sem aditivo 81 87 92 77 85 84 88 84 89 91

Passo 1

O enunciado nos dá duas amostras independentes de tamanho n_1=n_2=10: uma com aditivo e outra sem aditivo, e pede para verificar se o aditivo alterou a resistência média (tensão de ruptura) do concreto. O procedimento padrão é usar o teste t para duas amostras independentes, sem assumir variâncias iguais (teste de Welch). Precisamos calcular as médias amostrais, as variâncias amostrais, o estatístico t e os graus de liberdade aproximados.

Passo 2

Calcular as médias amostrais de cada grupo. Para o grupo com aditivo:
\bar x_1 = \frac{86+74+89+89+94+96+89+94+96+92}{10} = \frac{899}{10} = 89{,}9.
Para o grupo sem aditivo:
\bar x_2 = \frac{81+87+92+77+85+84+88+84+89+91}{10} = \frac{858}{10} = 85{,}8.

Passo 3

Calcular as variâncias amostrais s_1^2 e s_2^2. Primeiro somas dos quadrados:
\sum x_{1i}^2 = 81203,\quad \sum x_{2i}^2 = 73806.
Então
s_1^2 = \frac{\sum x_{1i}^2 - n_1\bar x_1^2}{n_1-1} = \frac{81203 - 10\cdot(89{,}9)^2}{9} \approx 42{,}54,
s_2^2 = \frac{\sum x_{2i}^2 - n_2\bar x_2^2}{n_2-1} = \frac{73806 - 10\cdot(85{,}8)^2}{9} \approx 15{,}51.

Passo 4

Construir o estatístico de teste de Welch:
t = \frac{\bar x_1 - \bar x_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}} = \frac{89{,}9 - 85{,}8}{\sqrt{\dfrac{42{,}54}{10} + \dfrac{15{,}51}{10}}} \approx \frac{4{,}1}{\sqrt{5{,}805}} \approx 1{,}702.

Passo 5

Calcular os graus de liberdade aproximados de Welch:
\nu = \frac{\Bigl(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\Bigr)^2} {\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}} \approx \frac{(5{,}805)^2}{\frac{(4{,}254)^2}{9} + \frac{(1{,}551)^2}{9}} \approx 14{,}8.

Passo 6

Para um nível de significância \alpha=0{,}05 e teste bilateral, o valor crítico é aproximadamente t_{0{,}975,\,15}\approx2{,}131. Como
|t| = 1{,}702 < 2{,}131,
não rejeitamos H_0. O p-valor bilateral é cerca de 0{,}11, maior que 0{,}05.

Resposta

Não há evidência significativa, a 5\%, de que o aditivo tenha alterado a resistência média do concreto.

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