O diâmetro de uma esfera de rolamento foi medido por 6 operadores, usando dois paquímetros diferentes. Verificar se existe diferença significativa entre a média das populações medidas representadas pelas duas amostras? Use \alpha=0,05.
Inspetor Paquímetro 1 Paquímetro 2
\mathbf{1} 7 6
\mathbf{2} 3 3
\mathbf{3} 3 5
\mathbf{4} 4 3
\mathbf{5} 8 8
\mathbf{6} 3 2

Passo 1

O enunciado nos dá duas medições pareadas do diâmetro de uma esfera feitas por 6 operadores com dois paquímetros diferentes. Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0,05, se a média das diferenças entre paquímetro 1 e paquímetro 2 é diferente de zero. O procedimento é um teste t pareado para duas médias de populações dependentes.

Passo 2

Vamos calcular as diferenças d_i = x_{1i} - x_{2i} para cada inspetor i:
\begin{aligned} d_1 &= 7 - 6 = 1,\\\ d_2 &= 3 - 3 = 0,\\\ d_3 &= 3 - 5 = -2,\\\ d_4 &= 4 - 3 = 1,\\\ d_5 &= 8 - 8 = 0,\\\ d_6 &= 3 - 2 = 1. \end{aligned}
Calculamos a média das diferenças \bar d e o desvio-padrão amostral s_d:
\bar d = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}d_i = \frac{1}{6}(1+0-2+1+0+1)=\frac{1}{6}=0,1667.
s_d = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{6}(d_i-\bar d)^2}{6-1}} = \sqrt{\frac{6{,}8332}{5}} \approx1,1689.

Passo 3

O estatístico de teste é
t = \frac{\bar d}{s_d/\sqrt{n}} = \frac{0,1667}{1,1689/\sqrt{6}} \approx0,35,
com n-1=5 graus de liberdade. Para \alpha=0,05 em teste bilateral, o valor crítico é
t_{0{,}025,5}\approx2,571.
Como \lvert t\rvert = 0,35 < 2,571, não rejeitamos a hipótese nula de que a média das diferenças é zero. Ou seja, não há diferença significativa entre as médias medidas pelos dois paquímetros.

Resposta

Não existe diferença significativa entre as médias dos paquímetros 1 e 2 ao nível \alpha=0,05.

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