Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Desenhe um retângulo típico de aproximação e coloque sua altura e largura. Então calcule a área da região.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a área da região no plano limitada pelas curvas
e
Primeiro vamos achar onde elas se intersectam, depois decidir a variável de integração, desenhar o retângulo típico com largura e altura, e finalmente montar e calcular a integral da área.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção igualamos as duas funções:
Multiplicando ambos os lados por
dá
Fazendo
temos
, cujas raízes são
ou
(descartamos
). Logo
e
Passo 3
Vendo o gráfico, para cada
entre
e
temos
- a curva superior
, - a curva inferior
.
É mais natural integrar em. O retângulo típico tem largura
e altura
Passo 4
Montamos a integral da área
somando a altura vezes a largura de
a
:
Passo 5
Para calcular, separamos:
Portanto