Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo típico de aproximação e coloque sua altura e largura. Então calcule a área da região.
y=x^2, y=2 /(x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a área da região no plano limitada pelas curvas
y = x^2
e
y = 2x^2+1
Primeiro vamos achar onde elas se intersectam, depois decidir a variável de integração, desenhar o retângulo típico com largura e altura, e finalmente montar e calcular a integral da área.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção igualamos as duas funções:
x^2 = 2x^2+1
Multiplicando ambos os lados por x^2+1
x^2(x^2+1) = 2 Longrightarrow x^4 + x^2 - 2 = 0
Fazendo t = x^2 temos t^2+t-2=0, cujas raízes são t=1 ou t=-2 (descartamos t=-2). Logo x^2=1 e
x = pm 1, y = x^2 = 1

Passo 3

Vendo o gráfico, para cada x entre -1 e 1 temos
  • a curva superior ytop = dfrac2x^2+1,
  • a curva inferior ybot = x^2.
    É mais natural integrar em x. O retângulo típico tem largura
De<a x
e altura
De<a y = ytop - ybot = 2x^2+1 - x^2

Passo 4

Montamos a integral da área A somando a altura vezes a largura de -1 a 1:
A = integral-1^1l(2x^2+1 - x^2r),dx

Passo 5

Para calcular, separamos:
integral-1^12x^2+1,dx = 2l[arctan(x)r]-1^1 =2l(pi4-l(-pi4r)r) =pi,
integral-1^1x^2,dx = [x^33]-1^1 =13-l(-13r) =23
Portanto
A = pi - 23

Resposta

A = pi - tfrac23

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