Suponha que uma agência bancária, localizada em uma área residencial, também esteja preocupada com o horário de pico do almoço, das 12 h às 13 h . Foi registrado o tempo de espera, em minutos (definido como o intervalo entre o momento em que o cliente entra na fila e até momento em que é atendido), de uma amostra de 8 clientes, durante esse horário, ao longo do período de uma semana. Os resultados são apresentados a seguir:
9,66
6,68
8,02
2,08
8,73
13,48
10,01
8,35
(a) Calcule a média aritmética, a mediana, e a amplitude interquartil dos valores acima.
(b) Usando a abordagem do escore-Z e da Amplitude Interquartil, determine se há valores extremos usando as duas estratégias.
Passo 1
O enunciado fornece os tempos de espera, em minutos, de uma amostra de 8 clientes, coletados entre 12\!:\!00 e 13\!:\!00. Os valores são:
Na prática, para a prova você pode arredondar, por exemplo para duas casas decimais: \bar{x}\approx 8,38 minutos.
Passo 4
Cálculo da mediana. Para n par, a mediana é a média dos dois valores centrais. Com os dados ordenados os dois valores centrais são o 4^\circ e o 5^\circ termos: 8,35 e 8,73. Então
Cálculo dos quartis e da amplitude interquartil (IQR). Procedimento (forma comum, e a que vou usar aqui): para n par, dividimos os dados em metade inferior (primeiros n/2 = 4 valores) e metade superior (últimos 4 valores). A mediana da metade inferior é o primeiro quartil Q_1 e a mediana da metade superior é o terceiro quartil Q_3.
Metade inferior (ordenada): 2,08,\;6,68,\;8,02,\;8,35.
Metade superior (ordenada): 8,73,\;9,66,\;10,01,\;13,48.
Como cada metade tem 4 valores, o Q_1 é a média do 2.º e 3.º valores da metade inferior:
Q_1=\frac{6,68+8,02}{2}=\frac{14,70}{2}=7,35.
O Q_3 é a média do 2.º e 3.º valores da metade superior:
Q_3=\frac{9,66+10,01}{2}=\frac{19,67}{2}=9,835.
A amplitude interquartil é
\text{IQR}=Q_3-Q_1=9,835-7,35=2,485.
Passo 6
Interpretação da IQR e cálculo das “fences” de Tukey para detectar outliers. A regra de Tukey considera como possíveis valores extremos aqueles que ficam abaixo de
Agora comparamos os dados ordenados com essas fences:
O menor valor é 2,08. Como 2,08<3,6225, então 2,08 é considerado um valor extremo segundo a regra da IQR.
O maior valor é 13,48. Como 13,48<13,5625, ele NÃO é classificado como extremo pela regra da IQR.
Portanto, pela abordagem da Amplitude Interquartil há um valor extremo: 2,08.
Passo 7
Agora a abordagem pelo escore-Z. Primeiro explico o conceito: o escore-Z de uma observação x é
z=\frac{x-\bar{x}}{s},
onde \bar{x} é a média amostral e s é o desvio-padrão amostral (usar n-1 no denominador da variância quando temos uma amostra). Um critério comum é considerar outlier quando |z|>3 (ou, em regras mais permissivas, |z|>2{,}5; aqui usarei o critério padrão |z|>3).
Vamos calcular o desvio-padrão amostral s. Fórmula prática:
Cálculo dos escores-Z relevantes (mostro os dois candidatos mais suspeitos e comento que nenhum ultrapassa |3|). Usamos \bar{x}=8,37625 e s\approx 3,2316.
Nenhum dos dois tem |z|>3. Se você calcular os z-scores de todos os pontos (opcional), verá que todos têm valores em módulo bem menores que 3. Portanto, usando o critério do escore-Z com limiar |z|>3, não há valores extremos.
Passo 9
Resumo interpretativo e encorajamento rápido: as duas estratégias podem discordar — isso é normal. A regra da IQR é mais robusta a valores extremos e, neste conjunto, identificou 2,08 como outlier porque ele está bem abaixo da cauda inferior. O critério do escore-Z não sinalizou outliers porque a dispersão amostral (desvio-padrão) é relativamente grande em relação ao afastamento de 2,08 da média. Em prova, é bom mencionar ambos os resultados e justificar qual critério você escolhe para a conclusão (aqui mostrei ambos).
Resposta
\bar{x}=8,37625 (aprox. 8,38 minutos)
mediana =8,54 minutos \text{IQR}=2,485 minutos
IQR (regra de Tukey): valor extremo = 2,08 (abaixo da lower fence 3,6225); nenhum outro extremo superior.
Escore-Z (critério |z|>3): nenhum valor extremo (maior |z| aproximado é |z_{2,08}|\approx 1,95).