Suponha que uma agência bancária, localizada em uma área residencial, também esteja preocupada com o horário de pico do almoço, das 12 h às 13 h . Foi registrado o tempo de espera, em minutos (definido como o intervalo entre o momento em que o cliente entra na fila e até momento em que é atendido), de uma amostra de 8 clientes, durante esse horário, ao longo do período de uma semana. Os resultados são apresentados a seguir:
9,66 6,68 8,02 2,08 8,73 13,48 10,01 8,35
(a) Calcule a média aritmética, a mediana, e a amplitude interquartil dos valores acima.
(b) Usando a abordagem do escore-Z e da Amplitude Interquartil, determine se há valores extremos usando as duas estratégias.

Passo 1

O enunciado fornece os tempos de espera, em minutos, de uma amostra de 8 clientes, coletados entre 12\!:\!00 e 13\!:\!00. Os valores são:
9,66,\;6,68,\;8,02,\;2,08,\;8,73,\;13,48,\;10,01,\;8,35.
As perguntas são:
  1. Calcular a média aritmética, a mediana e a amplitude interquartil (IQR) desses valores.
  2. Usando a abordagem do escore- Z e a abordagem pela Amplitude Interquartil, decidir se há valores extremos (outliers) segundo cada estratégia.

Passo 2

Primeiro precisamos ordenar os dados para calcular mediana e quartis. Ordenando em ordem crescente obtemos:
2,08,\;6,68,\;8,02,\;8,35,\;8,73,\;9,66,\;10,01,\;13,48.
Vou usar essa ordem nos passos seguintes.

Passo 3

Cálculo da média aritmética. A média aritmética \bar{x} de n observações é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as observações e n o número de observações. Aqui n=8. Primeiro somamos todos os valores (peguei os valores do enunciado):
\sum x_i = 9,66+6,68+8,02+2,08+8,73+13,48+10,01+8,35 = 67,01.
Logo
\bar{x}=\frac{67,01}{8}=8,37625.
Na prática, para a prova você pode arredondar, por exemplo para duas casas decimais: \bar{x}\approx 8,38 minutos.

Passo 4

Cálculo da mediana. Para n par, a mediana é a média dos dois valores centrais. Com os dados ordenados os dois valores centrais são o 4^\circ e o 5^\circ termos: 8,35 e 8,73. Então
\text{mediana}=\frac{8,35+8,73}{2}=\frac{17,08}{2}=8,54.

Passo 5

Cálculo dos quartis e da amplitude interquartil (IQR). Procedimento (forma comum, e a que vou usar aqui): para n par, dividimos os dados em metade inferior (primeiros n/2 = 4 valores) e metade superior (últimos 4 valores). A mediana da metade inferior é o primeiro quartil Q_1 e a mediana da metade superior é o terceiro quartil Q_3.
Metade inferior (ordenada): 2,08,\;6,68,\;8,02,\;8,35.
Metade superior (ordenada): 8,73,\;9,66,\;10,01,\;13,48.
Como cada metade tem 4 valores, o Q_1 é a média do 2.º e 3.º valores da metade inferior:
Q_1=\frac{6,68+8,02}{2}=\frac{14,70}{2}=7,35.
O Q_3 é a média do 2.º e 3.º valores da metade superior:
Q_3=\frac{9,66+10,01}{2}=\frac{19,67}{2}=9,835.
A amplitude interquartil é
\text{IQR}=Q_3-Q_1=9,835-7,35=2,485.

Passo 6

Interpretação da IQR e cálculo das “fences” de Tukey para detectar outliers. A regra de Tukey considera como possíveis valores extremos aqueles que ficam abaixo de
\text{Lower Fence}=Q_1-1{,}5\cdot\text{IQR}
ou acima de
\text{Upper Fence}=Q_3+1{,}5\cdot\text{IQR}.
Usando os valores que obtivemos:
\text{Lower Fence}=7,35-1{,}5\cdot 2,485=7,35-3,7275=3,6225,
\text{Upper Fence}=9,835+1{,}5\cdot 2,485=9,835+3,7275=13,5625.
Agora comparamos os dados ordenados com essas fences:
  • O menor valor é 2,08. Como 2,08<3,6225, então 2,08 é considerado um valor extremo segundo a regra da IQR.
  • O maior valor é 13,48. Como 13,48<13,5625, ele NÃO é classificado como extremo pela regra da IQR.
Portanto, pela abordagem da Amplitude Interquartil há um valor extremo: 2,08.

Passo 7

Agora a abordagem pelo escore- Z. Primeiro explico o conceito: o escore- Z de uma observação x é
z=\frac{x-\bar{x}}{s},
onde \bar{x} é a média amostral e s é o desvio-padrão amostral (usar n-1 no denominador da variância quando temos uma amostra). Um critério comum é considerar outlier quando |z|>3 (ou, em regras mais permissivas, |z|>2{,}5; aqui usarei o critério padrão |z|>3).
Vamos calcular o desvio-padrão amostral s. Fórmula prática:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\Big(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2\Big)}.
Já temos n=8 e \bar{x}=8,37625. Preciso de \sum x_i^2. Calculei os quadrados (peguei os valores do enunciado):
\sum x_i^2 = 9,66^2+6,68^2+8,02^2+2,08^2+8,73^2+13,48^2+10,01^2+8,35^2 = 634,3907.
Então
n\bar{x}^2=8\cdot (8,37625)^2 = 561,2875125
(eu calculei (8,37625)^2 e multipliquei por 8). Assim
s^2=\frac{634,3907-561,2875125}{8-1}=\frac{73,1031875}{7}=10,4433125,
e
s=\sqrt{10,4433125}\approx 3,2316.

Passo 8

Cálculo dos escores- Z relevantes (mostro os dois candidatos mais suspeitos e comento que nenhum ultrapassa |3|). Usamos \bar{x}=8,37625 e s\approx 3,2316.
Para o menor valor 2,08:
z_{2,08}=\frac{2,08-8,37625}{3,2316}=\frac{-6,29625}{3,2316}\approx -1,95.
Para o maior valor 13,48:
z_{13,48}=\frac{13,48-8,37625}{3,2316}=\frac{5,10375}{3,2316}\approx 1,58.
Nenhum dos dois tem |z|>3. Se você calcular os z-scores de todos os pontos (opcional), verá que todos têm valores em módulo bem menores que 3. Portanto, usando o critério do escore- Z com limiar |z|>3, não há valores extremos.

Passo 9

Resumo interpretativo e encorajamento rápido: as duas estratégias podem discordar — isso é normal. A regra da IQR é mais robusta a valores extremos e, neste conjunto, identificou 2,08 como outlier porque ele está bem abaixo da cauda inferior. O critério do escore- Z não sinalizou outliers porque a dispersão amostral (desvio-padrão) é relativamente grande em relação ao afastamento de 2,08 da média. Em prova, é bom mencionar ambos os resultados e justificar qual critério você escolhe para a conclusão (aqui mostrei ambos).

Resposta

\bar{x}=8,37625 (aprox. 8,38 minutos)
mediana =8,54 minutos
\text{IQR}=2,485 minutos
IQR (regra de Tukey): valor extremo = 2,08 (abaixo da lower fence 3,6225); nenhum outro extremo superior.
Escore- Z (critério |z|>3): nenhum valor extremo (maior |z| aproximado é |z_{2,08}|\approx 1,95).

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