Os dados a seguir representam o ganho obtido em um processo químico. Use alpha=0,05 e teste a hipótese de que nas condições atuais o ganho seja superior a 1,5.
1,50 1,55 1,59 1,42 1,53 1,58 1,48 1,52
1,53 1,62 1,46 1,56 1,63 1,54 1,58 1,68

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para a gente testar se, nas condições atuais, o ganho médio de um processo químico é superior a 1,5, usando um nível de significância de alpha = 0,05. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre teste de hipóteses, especificamente o teste t para a média quando não conhecemos a variância da população.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula ( H0) é que o ganho médio é igual a 1,5. A hipótese alternativa ( Ha) é que o ganho médio é maior que 1,5.
H0: mu = 1,5 Ha: mu > 1,5

Passo 3

Como não sabemos a variância da população e estamos trabalhando com uma amostra, vamos usar o teste t de Student para uma média. Esse teste nos ajuda a determinar se a média da amostra é significativamente maior que o valor especificado na hipótese nula.

Passo 4

Vamos calcular a média ( barx) e o desvio padrão ( s) da amostra. Primeiro, somamos todos os valores e dividimos pelo número total de observações.
Os dados são:
1,50; 1,55; 1,59; 1,42; 1,53; 1,58; 1,48; 1,52; 1,53; 1,62; 1,46; 1,56; 1,63; 1,54; 1,58; 1,68
Número de observações ( n) = 16
Calculando a média:
barx = 1,50 + 1,55 + ldots + 1,6816 = 24,5816 = 1,53625
Calculando o desvio padrão:
Primeiro, calculamos a variância:
s^2 = sum (xi - barx)^2n - 1
s^2 approx 0,0093 s approx 0,096

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:
t = barx - mu0s / raizn = 1,53625 - 1,50,096 / raiz16 = 0,036250,024 approx 1,51

Passo 6

Vamos determinar o valor crítico para o teste t com alpha = 0,05 e df = n - 1 = 15. Consultando a tabela t de Student, o valor crítico para um teste unilateral é aproximadamente 1,753.

Passo 7

Comparamos o valor calculado de t (1,51) com o valor crítico (1,753):
1,51 < 1,753
Como 1,51 é menor que 1,753, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos dados e no teste realizado, não há evidências suficientes para afirmar que o ganho médio do processo químico é superior a 1,5 a um nível de significância de 5%.

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