Dois tipos de combustíveis estão sendo testados. A hipótese é que eles tenham o mesmo desempenho. Teste essa hipótese, sabendo que os resultados de testes feitos com 10 automóveis usando cada tipo combustível indicaram s1=0,63 km / l e s2=0,88 km / <= barx1=13,3 km / l e x2=13,9 km / l. (Suponha sigma1^2=sigma2^2 e use alpha=0,05 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois tipos de combustível que estão sendo testados pra ver se têm o mesmo desempenho, ou seja, se conseguem a mesma quilometragem por litro (km/l). Para isso, foram feitos testes com 10 carros usando cada tipo de combustível. Os resultados mostraram que o primeiro combustível teve um desvio padrão de $ s_1 = 0,63 $ km/l e uma média de $ \overline{x}_1 = 13,3 $ km/l. O segundo combustível teve um desvio padrão de $ s_2 = 0,88 $ km/l e uma média de $ \overline{x}_2 = 13,9 $ km/l. A gente vai testar se essas diferenças são estatisticamente significativas usando um nível de confiança de $ \alpha = 0,05 $. Vamos precisar de conceitos de teste de hipóteses para comparar médias de duas populações com variâncias iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula ($ H_0 $) é que os dois combustíveis têm o mesmo desempenho, ou seja, as médias são iguais:
H0
A hipótese alternativa ($ H_1 $) é que os desempenhos são diferentes:
H0: mu1 = mu2
Isso porque queremos ver se há uma diferença significativa entre os dois combustíveis.

Passo 3

Como estamos assumindo que as variâncias dos dois combustíveis são iguais ($ \sigma_1^2 = \sigma_2^2 $), vamos calcular o desvio padrão combinado, também chamado de desvio padrão pooled. A fórmula para isso é:
sigma1^2 = sigma2^2
Onde:
- $ n_1 = n_2 = 10 $
- $ s_1 = 0,63 $ km/l
- $ s_2 = 0,88 $ km/l
Vamos calcular:
sp = raiz(n1 - 1)s1^2 + (n2 - 1)s2^2n1 + n2 - 2
n1 = n2 = 10
s1 = 0,63
s2 = 0,88
sp = raiz(10 - 1)(0,63)^2 + (10 - 1)(0,88)^210 + 10 - 2
sp = raiz9 times 0,3969 + 9 times 0,774418 km/l

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor do teste, que geralmente é um t-score quando a variância é desconhecida, mas estamos assumindo variâncias iguais, então usamos:
t = x1 - x2sp raiz1n1 + 1n2
Substituindo os valores:
t = 13,3 - 13,90,765 raiz110 + 110
t = -0,60,765 raiz0,2
t = -0,60,765 times 0,4472
t = -0,60,342
t approx -1,754

Passo 5

Vamos determinar o valor crítico para o teste. Como o nível de significância é $ \alpha = 0,05 $ e é um teste bilateral, precisamos dividir esse valor por 2, ficando $ 0,025 $ de cada lado. Com graus de liberdade $ df = n_1 + n_2 - 2 = 18 $, consultando a tabela t, o valor crítico é aproximadamente $ \pm 2,101 $.

Passo 6

Agora, comparamos o t calculado com os valores críticos:
-2,101 < -1,754 < 2,101
Como o valor do t está dentro do intervalo de aceitação [-2,101, 2,101], não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidências suficientes para concluir que os dois tipos de combustíveis têm desempenhos diferentes ao nível de significância de 5%.

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