Dois tipos de combustíveis estão sendo testados. A hipótese é que eles tenham o mesmo desempenho. Teste essa hipótese, sabendo que os resultados de testes feitos com 10 automóveis usando cada tipo combustível indicaram
e
e
. (Suponha
e use
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois tipos de combustível que estão sendo testados pra ver se têm o mesmo desempenho, ou seja, se conseguem a mesma quilometragem por litro (km/l). Para isso, foram feitos testes com 10 carros usando cada tipo de combustível. Os resultados mostraram que o primeiro combustível teve um desvio padrão de $ s_1 = 0,63 $ km/l e uma média de $ \overline{x}_1 = 13,3 $ km/l. O segundo combustível teve um desvio padrão de $ s_2 = 0,88 $ km/l e uma média de $ \overline{x}_2 = 13,9 $ km/l. A gente vai testar se essas diferenças são estatisticamente significativas usando um nível de confiança de $ \alpha = 0,05 $. Vamos precisar de conceitos de teste de hipóteses para comparar médias de duas populações com variâncias iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula ($ H_0 $) é que os dois combustíveis têm o mesmo desempenho, ou seja, as médias são iguais:
A hipótese alternativa ($ H_1 $) é que os desempenhos são diferentes:
Isso porque queremos ver se há uma diferença significativa entre os dois combustíveis.
Passo 3
Como estamos assumindo que as variâncias dos dois combustíveis são iguais ($ \sigma_1^2 = \sigma_2^2 $), vamos calcular o desvio padrão combinado, também chamado de desvio padrão pooled. A fórmula para isso é:
Onde:
- $ n_1 = n_2 = 10 $
- $ s_1 = 0,63 $ km/l
- $ s_2 = 0,88 $ km/l
Vamos calcular:
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor do teste, que geralmente é um t-score quando a variância é desconhecida, mas estamos assumindo variâncias iguais, então usamos:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos determinar o valor crítico para o teste. Como o nível de significância é $ \alpha = 0,05 $ e é um teste bilateral, precisamos dividir esse valor por 2, ficando $ 0,025 $ de cada lado. Com graus de liberdade $ df = n_1 + n_2 - 2 = 18 $, consultando a tabela t, o valor crítico é aproximadamente $ \pm 2,101 $.
Passo 6
Agora, comparamos o t calculado com os valores críticos:
Como o valor do t está dentro do intervalo de aceitação
Resposta
Não há evidências suficientes para concluir que os dois tipos de combustíveis têm desempenhos diferentes ao nível de significância de 5%.