Obtenha uma base ortornormal para o seguinte subespaço vetorial de R^4: U=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y=0 e z=2 t. A seguir, projete circ vetor u=(1,3,4,2) ortogonalmente sobre U.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar uma base ortonormal de
U=(x,y,z,t)inR^4mid x-y=0,;z=2t,
usando o produto interno padrão em R^4 e Gram–Schmidt; e (ii) projetar ortogonalmente o vetor
u=(1,3,4,2)
sobre U.

Passo 2

Vamos escrever um vetor genérico de U em função de parâmetros livres. Como x=y e z=2t, tome y e t livres, então
(x,y,z,t)=(y,y,2t,t)=y,(1,1,0,0);+;t,(0,0,2,1)
Logo, uma base natural de U é
v1=(1,1,0,0), v2=(0,0,2,1)

Passo 3

Verificamos a ortogonalidade de v1 e v2 pelo produto escalar:
v1cdot v2=1cdot0+1cdot0+0cdot2+0cdot1=0
Como já são ortogonais, basta normalizar cada um para obter a base ortonormal.

Passo 4

O comprimento de v1 é
|v1|=raiz1^2+1^2+0^2+0^2=raiz2,
portanto
e1=v1|v1| =l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2,0,0r)
O comprimento de v2 é
|v2|=raiz0^2+0^2+2^2+1^2=raiz5,
logo
e2=v2|v2| =l(0,0,tfrac2raiz5,tfrac1raiz5r)

Passo 5

Para projetar u em U, calculamos
c1 = ucdot e1 =1cdottfrac1raiz2+3cdottfrac1raiz2 =4raiz2=2raiz2,
c2 = ucdot e2 =4cdottfrac2raiz5+2cdottfrac1raiz5 =8+2raiz5=10raiz5=2raiz5
A projeção é
projU(u) =c1,e1+c2,e2 =2raiz2l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2,0,0r) +2raiz5l(0,0,tfrac2raiz5,tfrac1raiz5r) =(2,2,4,2)

Resposta

A base ortonormal de U é
e1=l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2,0,0r), e2=l(0,0,tfrac2raiz5,tfrac1raiz5r),
e a projeção de u=(1,3,4,2) sobre U é
projU(u)=(2,2,4,2)

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