Obtenha uma base ortornormal para o seguinte subespaço vetorial de
e
. A seguir, projete
vetor
ortogonalmente sobre
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar uma base ortonormal de
usando o produto interno padrão em
e Gram–Schmidt; e (ii) projetar ortogonalmente o vetor
sobre
.
Passo 2
Vamos escrever um vetor genérico de
em função de parâmetros livres. Como
e
, tome
e
livres, então
Logo, uma base natural de
é
Passo 3
Verificamos a ortogonalidade de
e
pelo produto escalar:
Como já são ortogonais, basta normalizar cada um para obter a base ortonormal.
Passo 4
O comprimento de
é
portanto
O comprimento de
é
logo
Passo 5
Para projetar
em
, calculamos
A projeção é
Resposta
A base ortonormal de
é
e a projeção de
sobre
é