Dados A e b do sistema A x=b, pede-se:
b=[c -2 1 3 ], A=[ccc 2 & 1 & -1 2 & -1 & -15 1 & 1 & 1 ]
Use a decomposição LU para encontrar a inversa de A.

Passo 1

Tranquilo! O enunciado pede pra gente encontrar a inversa da matriz
A= 2 & 1 & -1 2 & -1 & -15 1 & 1 & 1
usando decomposição LU.
Conteúdo: álgebra linear básica – a decomposição LU (escrever A=L,U, com L triangular inferior e U triangular superior) e depois usar substituição direta e regressiva para resolver sistemas. Vamos precisar:
  1. decompor A em L e U,
  2. para cada coluna da inversa, resolver A,xj=ej via L,y=ej e depois U,xj=y.

Passo 2

Decompondo A = L,U pelo método de Doolittle (assumindo L com 1’s na diagonal):
  1. Primeiro pivô é a11=2.
    • L21=a21a11=22=1, L31=a31a11=12.
  2. Atualiza segunda linha de U:
    • U22=a22-L21U12=-1-1cdot1=-2,
    • U23=a23-L21U13=-15-1cdot(-1)=-14.
  3. Atualiza terceira linha de U:
    • U32=a32-L31U12=1-tfrac12cdot1=tfrac12,
    • U33=a33-L31U13=1-tfrac12cdot(-1)=tfrac32.
  4. Calcula L32=U32U22=1/2-2=-tfrac14.
Então
L= 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 tfrac12 & -tfrac14 & 1 , U= 2 & 1 & -1 0 & -2 & -14 0 & 0 & tfrac32

Passo 3

Agora, para achar A^-1, a gente resolve A,xj=ej para j=1,2,3. Como A=LU, fazemos:
  1. L,y=ej (substituição direta)
  2. U,xj=y (substituição regressiva)
Vamos montar cada coluna:
a) Coluna 1 ( e1=(1,0,0)^T):
  • Direta ( L,y=e1):
    y1=1,
    y2 -1cdot y1=0implies y2=-1,
    y3 +tfrac12y1 -tfrac14y2=0implies y3=-tfrac34.
  • Regressiva ( U,x1=y):
    tfrac32,x31=y3=-tfrac34implies x31=-tfrac12,
    -2,x21-14,x31=y2=-1implies -2x21+7=-1implies x21=4,
    2,x11+1cdot x21-1cdot x31=y1=1implies 2x11+4+0.5=1implies x11=-tfrac74.
b) Coluna 2 ( e2=(0,1,0)^T):
  • Direta: y1=0, y2=1, y3=+tfrac14.
  • Regressiva:
    x32=y31.5=tfrac16,
    -2x22-14x32=1implies x22=-tfrac53,
    2x12+x22-x32=0implies x12=tfrac1112.
c) Coluna 3 ( e3=(0,0,1)^T):
  • Direta: y1=0, y2=0, y3=1.
  • Regressiva:
    x33=11.5=tfrac23,
    -2x23-14x33=0implies x23=-tfrac143,
    2x13+x23-x33=0implies x13=tfrac83.

Resposta

Juntando tudo,
A^-1= -tfrac74 & tfrac1112 & tfrac83[6pt] 4 & -tfrac53 & -tfrac143[6pt] -tfrac12 & tfrac16 & tfrac23

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