Suponha que você precise resolver um sistema linear com 500 variáveis e que a matriz dos coeficientes seja esparsa. Qual método seria computacionalmente mais eficiente?
  • Eliminação Gaussiana
  • Gauss-Seidel
    ■ Decomposição LU
  • Regra de Cramer

Passo 1

Beleza, a questão diz o seguinte: temos um sistema linear grandão, com 500 variáveis, e a matriz de coeficientes é ES-PAR-SA (ou seja, a maioria dos elementos é zero). A pergunta é: qual método entre Eliminação Gaussiana, Gauss-Seidel, Decomposição LU e Regra de Cramer é mais rápido nesse caso? O conteúdo aqui é Métodos Numéricos para resolver sistemas lineares, e vamos precisar entender o custo computacional (complexidade) de cada método e como isso muda quando a matriz é esparsa.

Passo 2

Eliminação Gaussiana (EG) e Decomposição LU são métodos diretos que exigem operações de encher a matriz de zeros com números diferentes de zero (“fill-in”). O número de operações fica da ordem de
O(n^3)
para uma matriz densa de tamanho . Mesmo se a matriz for esparsa, na prática o “fill-in” faz com que você perca essa vantagem e ocupe muita memória e tempo.

Passo 3

Regra de Cramer é ainda pior: envolve calcular determinantes para cada variável, e o custo é algo como
O(ncdot n!) ou O(n^4)
dependendo de como você calcula determinantes, mas de qualquer jeito é impraticável para . É quase uma piada usar Cramer em mais do que 5 incógnitas.

Passo 4

Gauss-Seidel, por outro lado, é um método iterativo. A ideia básica é: você supõe um chute inicial pras variáveis, e vai melhorando esse chute linha a linha. Cada iteração só visita os coeficientes não-zero da matriz (graças à esparsidade), então o custo por iteração é da ordem de
O(número de não-zeros) úã
e você só precisa de algumas dezenas ou centenas de iterações para convergir, dependendo do problema. Ou seja, em vez de , você tem algo como , onde é o número de iterações e “nz” é muito menor que .

Passo 5

Resumindo:
  • Métodos diretos (Gauss, LU) são e sofrem “fill-in”.
  • Cramer é proibitivo até para bem menor que 500.
  • Gauss-Seidel é iterativo, explora esparsidade e fica bem mais rápido na prática.

Resposta

O método Gauss-Seidel é o mais eficiente para um sistema grande ( ) com matriz esparsa.

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