Dados os sistemas abaixo, calcule:
\left\{\begin{aligned} x+y+z & =4 \\\ x-3 y+4 z & =-8 \\\\ 3 x-y-z & =0\end{aligned} \quad\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} x + y + z = 4,\\\ x - 3y + 4z = -8,\\\\ 3x - y - z = 0. \end{cases}
O conteúdo aqui é método de eliminação de Gauss: vamos montar a forma matricial aumentada e eliminar variáveis passo a passo.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos x das equações 2 e 3 usando a primeira linha:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vrule & 4\\\\ 1 & -3 & 4 & \vrule & -8\\\\ 3 & -1 & -1 & \vrule & 0 \end{pmatrix}.
Fazendo L_2 \leftarrow L_2 - L_1 e L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1, obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vrule & 4\\\\ 0 & -4 & 3 & \vrule & -12\\\\ 0 & -4 & -4 & \vrule & -12 \end{pmatrix},
ou seja, as duas novas equações são
\begin{cases} -4y + 3z = -12,\\\\ -4y - 4z = -12. \end{cases}

Passo 3

Para resolver o sistema em y e z, subtraímos as duas equações:
(-4y - 4z) - (-4y + 3z) = -12 - (-12) \quad\Longrightarrow\quad -7z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = 0.
Em seguida, na equação -4y + 3z = -12, substituímos z=0:
-4y = -12 \quad\Longrightarrow\quad y = 3.

Passo 4

Finalmente, voltamos à primeira equação x + y + z = 4 e substituímos y=3 e z=0:
x + 3 + 0 = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Resposta

(x,y,z) = (1,\,3,\,0).

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