Dados os sistemas abaixo, calcule:
\left\{\begin{array}{c}x-y-z=-5 \\\\ 3 x+4 y-z=5 \\\\ 2 x+2 y+2 z=10\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} x - y - z = -5,\\\\ 3x + 4y - z = 5,\\\\ 2x + 2y + 2z = 10. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistemas lineares; vamos usar o método de substituição e eliminação para encontrar (x,y,z).

Passo 2

Isolamos x na primeira equação:
x = y + z - 5.
Em seguida, substituímos esse valor de x nas segunda e terceira equações.

Passo 3

Substituindo em
3x + 4y - z = 5
temos
3(y + z - 5) + 4y - z = 5 \quad\Longrightarrow\quad 7y + 2z = 20.

Passo 4

Substituindo em
2x + 2y + 2z = 10
obtemos
2(y + z - 5) + 2y + 2z = 10 \quad\Longrightarrow\quad 4y + 4z = 20 \quad\Longrightarrow\quad y + z = 5.

Passo 5

Resolvemos o sistema reduzido
\begin{cases} 7y + 2z = 20,\\\ y + z = 5. \end{cases}
Da segunda equação segue z = 5 - y. Substituindo em 7y + 2z = 20:
7y + 2(5 - y) = 20 \quad\Longrightarrow\quad 5y = 10 \quad\Longrightarrow\quad y = 2.

Passo 6

Agora calculamos
z = 5 - y = 3, \qquad x = y + z - 5 = 0.

Resposta

(x,y,z) = (0,\,2,\,3).

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