A matriz de transição de estados econômicos é dada por:
P=\left[\begin{array}{lll} 0.6 & 0.3 & 0.1 \\\\ 0.4 & 0.4 & 0.2 \\\\ 0.2 & 0.3 & 0.5 \end{array}\right]
(a) Se a economia começa em expansão, qual é a distribuição dos estados após 3 anos?
(b) Encontre a distribuição de estado estacionário.

Passo 1

O enunciado define uma cadeia de Markov de três estados com matriz de transição
P=\begin{pmatrix} 0.6 & 0.3 & 0.1\\\\ 0.4 & 0.4 & 0.2\\\\ 0.2 & 0.3 & 0.5 \end{pmatrix}
e pede:
(a) a distribuição após 3 anos se começamos em expansão (isto é, vetor inicial \pi(0)=(1,0,0));
(b) o vetor de estado estacionário \pi que satisfaz \pi P=\pi e \sum_i\pi_i=1.

Passo 2

Para obter a distribuição depois de 3 passos, precisamos de P^3. Primeiro calculemos
P^2 = P\cdot P =\begin{pmatrix} 0.6 & 0.3 & 0.1\\\\ 0.4 & 0.4 & 0.2\\\\ 0.2 & 0.3 & 0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.6 & 0.3 & 0.1\\\\ 0.4 & 0.4 & 0.2\\\\ 0.2 & 0.3 & 0.5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0.50 & 0.33 & 0.17\\\\ 0.44 & 0.34 & 0.22\\\\ 0.34 & 0.33 & 0.33 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora multiplicamos P^2 por P para achar P^3. Em particular, como a distribuição inicial é (1,0,0), só precisamos da primeira linha de P^3:
P^3 = P^2 \,P \quad\Longrightarrow\quad \text{primeira linha de }P^3 =\bigl(0.466,\;0.333,\;0.201\bigr).

Passo 4

A distribuição após 3 anos é
\pi(3)=\pi(0)\,P^3=(1,0,0)\cdot P^3=\bigl(0.466,\;0.333,\;0.201\bigr).

Passo 5

Para achar o estado estacionário \pi=(\pi_1,\pi_2,\pi_3), resolvemos
\pi P = \pi, \qquad \pi_1+\pi_2+\pi_3=1.
Isto gera, pelas duas primeiras componentes, o sistema linear
\begin{cases} \pi_1 = 0.6\,\pi_1 + 0.4\,\pi_2 + 0.2\,\pi_3,\\\ \pi_2 = 0.3\,\pi_1 + 0.4\,\pi_2 + 0.3\,\pi_3,\\\ \pi_1+\pi_2+\pi_3=1. \end{cases}

Passo 6

Resolvendo dá
\pi_2 = \tfrac{3}{4}\,\pi_1, \quad \pi_3 = \tfrac12\,\pi_1, \quad \pi_1\bigl(1+\tfrac34+\tfrac12\bigr)=1 \;\Longrightarrow\; \pi_1=\tfrac{4}{9},\;\pi_2=\tfrac{3}{9},\;\pi_3=\tfrac{2}{9}.

Resposta

(a) \displaystyle \pi(3)=\bigl(0.466,\;0.333,\;0.201\bigr).
(b) \displaystyle \pi=(\tfrac{4}{9},\;\tfrac{3}{9},\;\tfrac{2}{9})\approx(0.444,\;0.333,\;0.222).

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