(3,0 pontos) Considere o problema de maximizar
sujeito a
pelo método de Lagrange.
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre o candidato a solução do problema, ou seja, a solução para as condições de primeira ordem.
(c) ( 1,0 ponto) Qual o impacto de um aumento marginal em
sobre o valor de
? Qual a relação desse impacto com o multiplicador de Lagrange?
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre o candidato a solução do problema, ou seja, a solução para as condições de primeira ordem.
(c) ( 1,0 ponto) Qual o impacto de um aumento marginal em
Passo 1
O enunciado pede para maximizar
sujeito à restrição linear
usando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Conteúdo: otimização com restrição e interpretação econômica do multiplicador.
Conteúdo: otimização com restrição e interpretação econômica do multiplicador.
Passo 2
Para aplicar Lagrange, precisamos da qualificação de restrição (LICQ): o gradiente da restrição não pode ser nulo no ponto viável. A função restrição é
logo
que claramente não é o vetor nulo. Portanto, a qualificação de restrição está satisfeita em qualquer ponto com
.
Passo 3
Construímos a Lagrangiana
As condições de primeira ordem são
Da primeira equação vem
e da segunda
Chamando
, igualamos
Logo
, isto é
. Aplicando na restrição
Substituindo em
obtemos
Passo 4
O impacto marginal de um aumento de
sobre o valor ótimo
é
Em teoria de Lagrange isso coincide com o multiplicador
. Podemos checar diretamente:
Resposta
(a) A qualificação de restrição está satisfeita pois
.
(b) ,
e
.
(c) O impacto marginal é , que coincide com o multiplicador de Lagrange
.
(b)
(c) O impacto marginal é