(3,0 pontos) Considere o problema de maximizar u(x, y)=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2} sujeito a 2 x+3 y=z pelo método de Lagrange.
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre o candidato a solução do problema, ou seja, a solução para as condições de primeira ordem.
(c) ( 1,0 ponto) Qual o impacto de um aumento marginal em z sobre o valor de u\left(x^{*}, y^{*}\right) ? Qual a relação desse impacto com o multiplicador de Lagrange?

Passo 1

O enunciado pede para maximizar
u(x,y) = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2
sujeito à restrição linear
2x + 3y = z
usando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Conteúdo: otimização com restrição e interpretação econômica do multiplicador.

Passo 2

Para aplicar Lagrange, precisamos da qualificação de restrição (LICQ): o gradiente da restrição não pode ser nulo no ponto viável. A função restrição é
g(x,y) = 2x + 3y - z
logo
\nabla g(x,y) = (2,\,3),
que claramente não é o vetor nulo. Portanto, a qualificação de restrição está satisfeita em qualquer ponto com 2x+3y=z.

Passo 3

Construímos a Lagrangiana
\mathcal{L}(x,y,\lambda) = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 \;-\;\lambda\bigl(2x+3y - z\bigr).
As condições de primeira ordem são
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x} = 2(\sqrt{x}+\sqrt{y})\cdot\frac1{2\sqrt{x}} \;-\;2\lambda = 0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y} = 2(\sqrt{x}+\sqrt{y})\cdot\frac1{2\sqrt{y}} \;-\;3\lambda = 0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(2x+3y - z) = 0.
Da primeira equação vem
\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = 2\lambda,
e da segunda
\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = 3\lambda.
Chamando t=\sqrt{y}/\sqrt{x}, igualamos
\frac{1+t}{2} = \frac{1+1/t}{3} \;\;\Longrightarrow\;\; 3(1+t)=2\bigl(1+\tfrac1t\bigr) \;\;\Longrightarrow\;\; 3t^2 + t - 2 = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; t = \tfrac23.
Logo \sqrt{y}/\sqrt{x}=2/3, isto é y=(4/9)x. Aplicando na restrição
2x + 3\bigl(\tfrac{4}{9}x\bigr) = \tfrac{10}{3}x = z \;\;\Longrightarrow\;\; x^* = \frac{3}{10}z, \quad y^* = \frac{4}{9}x^* = \frac{2}{15}z.
Substituindo em \lambda = (1+t)/2 obtemos
\lambda = \frac{1 + \tfrac23}{2} = \frac{5}{6}.

Passo 4

O impacto marginal de um aumento de z sobre o valor ótimo u^*=u(x^*,y^*) é
\frac{d u^*}{d z}.
Em teoria de Lagrange isso coincide com o multiplicador \lambda. Podemos checar diretamente:
u^* = \bigl(\sqrt{x^*}+\sqrt{y^*}\bigr)^2 = z\bigl(\sqrt{\tfrac{3}{10}}+\sqrt{\tfrac{2}{15}}\bigr)^2 \;\Longrightarrow\; \frac{d u^*}{d z} = \bigl(\sqrt{\tfrac{3}{10}}+\sqrt{\tfrac{2}{15}}\bigr)^2 = \frac{5}{6} = \lambda.

Resposta

(a) A qualificação de restrição está satisfeita pois \nabla g(x,y)=(2,3)\neq(0,0).
(b) x^*=\tfrac{3}{10}z, y^*=\tfrac{2}{15}z e \lambda=\tfrac{5}{6}.
(c) O impacto marginal é \tfrac{d u^*}{d z}=\tfrac{5}{6}, que coincide com o multiplicador de Lagrange \lambda.

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