Dados os sistemas a seguir, determine, caso haja, a solução do sistema e classifique o sistema em compatível (ou consistente) determinado, compatível indeterminado ou incompatível.
\left\{\begin{array}{c}-2 x_{2}+3 x_{3}=1 \\\\ 3 x_{1}+6 x_{2}-3 x_{3}=-2 \\\\ 6 x_{1}+6 x_{2}+3 x_{3}=5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear envolvendo as incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}\): \[\begin{cases} -2x_{2}+3x_{3}=1,\\\\ 3x_{1}+6x_{2}-3x_{3}=-2,\\\\ 6x_{1}+6x_{2}+3x_{3}=5. \end{cases}
Vamos usar o método de substituição para eliminar (x_{1}] e verificar se existe solução.

Passo 2

Isolamos x_{1} a partir da segunda equação:
3x_{1}+6x_{2}-3x_{3}=-2 \quad\Longrightarrow\quad 3x_{1}=-2-6x_{2}+3x_{3} \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=\frac{-2-6x_{2}+3x_{3}}{3} =\,-\frac{2}{3}-2x_{2}+x_{3}.

Passo 3

Substituímos essa expressão de x_{1} na terceira equação:
6\Bigl(-\tfrac{2}{3}-2x_{2}+x_{3}\Bigr)+6x_{2}+3x_{3}=5.
Desenvolvendo,
-4-12x_{2}+6x_{3}+6x_{2}+3x_{3}=5 \quad\Longrightarrow\quad -4-6x_{2}+9x_{3}=5 \quad\Longrightarrow\quad -6x_{2}+9x_{3}=9 \quad\Longrightarrow\quad -2x_{2}+3x_{3}=3.

Passo 4

Agora compare com a primeira equação:
-2x_{2}+3x_{3}=1.
Temos simultaneamente
-2x_{2}+3x_{3}=1 \quad\text{e}\quad -2x_{2}+3x_{3}=3,
o que é impossível. Logo, há contradição e não existe solução.

Resposta

O sistema é incompatível (não possui solução).

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