Dê, se possível, exemplos de:
Uma base para o R^4 contendo (3,0,6,1),(0,2,0,2),(0,1,0,1).

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de Álgebra Linear. A pergunta pede para encontrar exemplos de uma base para o espaço R^4 que inclua os vetores (3,0,6,1),(0,2,0,2),(0,1,0,1). Para isso, vamos precisar entender o que é uma base, verificar se os vetores dados são independentes e, se necessário, encontrar mais um vetor para completar a base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de R^4, uma base precisa ter exatamente 4 vetores.

Passo 3

Vamos verificar se os três vetores que nos deram são linearmente independentes. Isso significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Para isso, colocamos os vetores em uma matriz e verificamos o posto dessa matriz.
Montamos a matriz com os vetores como colunas:
3 & 0 & 0 0 & 2 & 1 6 & 0 & 0 1 & 2 & 1

Passo 4

Agora, aplicamos a eliminação de Gauss para simplificar a matriz:
  1. Já temos um 3 no primeiro elemento, então vamos manter.
  2. O segundo vetor começa com 0, então vamos para o próximo.
  3. O terceiro vetor começa com 0, então também mantemos.
Observando a segunda linha, temos um 2 e um 1. Não há dependência linear aparente entre os vetores, então eles são linearmente independentes.

Passo 5

Como temos 3 vetores linearmente independentes em R^4, precisamos de mais um vetor para completar a base. Vamos escolher um vetor que não possa ser escrito como combinação linear dos três que já temos.
Uma escolha simples é o vetor (0,0,0,1), mas vamos verificar se ele não está no espaço gerado pelos três vetores dados.

Passo 6

Tentamos expressar (0,0,0,1) como combinação linear dos vetores:
a(3,0,6,1) + b(0,2,0,2) + c(0,1,0,1) = (0,0,0,1)
Resolvendo as equações:
  1. 3a = 0 a = 0
  2. 2b + c = 0
  3. 6a = 0 a = 0
  4. 2b + c = 1
Da primeira equação, a = 0. Da segunda e quarta, temos:
2b + c = 0 2b + c = 1
Isso é impossível, então não existe tal combinação. Portanto, (0,0,0,1) é independente dos três primeiros vetores.

Passo 7

Então, podemos formar uma base para R^4 com os três vetores fornecidos e o novo vetor que encontramos:
(3,0,6,1), (0,2,0,2), (0,1,0,1), (0,0,0,1)

Resposta

Uma base para R^4 contendo os vetores dados é , (3,0,6,1), (0,2,0,2), (0,1,0,1), (0,0,0,1) ,.

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