Dê, se possível, exemplos de:
Um conjunto L.D. de quatro vetores que gera P3(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar exemplos de um conjunto Linearmente Dependente (L.D.) de quatro vetores que gera o espaço P3(R).
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais, dependência linear e geração de espaços.
O que vamos precisar: Entender o que significa um conjunto ser linearmente dependente, saber como os vetores (no caso, polinômios) geram um espaço, e aplicar isso para construir o conjunto solicitado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que P3(R) é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Um conjunto de vetores (polinômios) gera esse espaço se, combinando linearmente esses vetores, conseguimos formar qualquer polinômio de P3(R).
A dimensão de P3(R) é 4, o que significa que precisamos de 4 vetores para formar uma base. No entanto, uma base é sempre linearmente independente. Como o exercício pede um conjunto linearmente dependente, precisamos que pelo menos um dos vetores seja uma combinação linear dos outros.

Passo 3

Vamos construir um conjunto de quatro polinômios que geram P3(R) mas que são linearmente dependentes.
Começamos com a base padrão de P3(R):
1, x, x^2, x^3
Para torná-lo linearmente dependente, adicionamos um polinômio que é combinação linear dos anteriores. Por exemplo:
1 + x + x^2 + x^3
Então, nosso conjunto fica:
1, x, x^2, 1 + x + x^2 + x^3

Passo 4

Vamos verificar se esse conjunto realmente gera P3(R) e se é linearmente dependente.
Geração: Qualquer polinômio de grau até 3 pode ser escrito como:
a cdot 1 + b cdot x + c cdot x^2 + d cdot x^3
Como temos todos esses termos no nosso conjunto (mesmo que um deles seja uma combinação dos outros), podemos gerar qualquer polinômio de P3(R).
Dependência Linear: Se um conjunto tem mais vetores do que a dimensão do espaço, ele é necessariamente linearmente dependente. Aqui, a dimensão é 4 e temos 4 vetores, mas como um deles é combinação dos outros, realmente há dependência.

Resposta

Um exemplo de conjunto linearmente dependente de quatro vetores que gera P3(R) é:
1, x, x^2, 1 + x + x^2 + x^3

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