Dê, se possível, exemplos de:
Um conjunto L.D. de quatro vetores que gera
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Um conjunto L.D. de quatro vetores que gera
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar exemplos de um conjunto Linearmente Dependente (L.D.) de quatro vetores que gera o espaço
.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais, dependência linear e geração de espaços.
O que vamos precisar: Entender o que significa um conjunto ser linearmente dependente, saber como os vetores (no caso, polinômios) geram um espaço, e aplicar isso para construir o conjunto solicitado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Um conjunto de vetores (polinômios) gera esse espaço se, combinando linearmente esses vetores, conseguimos formar qualquer polinômio de
.
A dimensão de
é 4, o que significa que precisamos de 4 vetores para formar uma base. No entanto, uma base é sempre linearmente independente. Como o exercício pede um conjunto linearmente dependente, precisamos que pelo menos um dos vetores seja uma combinação linear dos outros.
Passo 3
Vamos construir um conjunto de quatro polinômios que geram
mas que são linearmente dependentes.
Começamos com a base padrão de
:
Para torná-lo linearmente dependente, adicionamos um polinômio que é combinação linear dos anteriores. Por exemplo:
Então, nosso conjunto fica:
Passo 4
Vamos verificar se esse conjunto realmente gera
e se é linearmente dependente.
Geração: Qualquer polinômio de grau até 3 pode ser escrito como:
Como temos todos esses termos no nosso conjunto (mesmo que um deles seja uma combinação dos outros), podemos gerar qualquer polinômio de
.
Dependência Linear: Se um conjunto tem mais vetores do que a dimensão do espaço, ele é necessariamente linearmente dependente. Aqui, a dimensão é 4 e temos 4 vetores, mas como um deles é combinação dos outros, realmente há dependência.
Resposta
Um exemplo de conjunto linearmente dependente de quatro vetores que gera
é: