Dados os vetores vec{u}=(2,1,0), vec{v}=(1,-1,3) e vec{w}=(0,4,-2) em \mathbb{R}^{3}, calcule:
O cosseno do ângul entre os vetores \vec{u} \mathrm{e} \vec{v}.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \vec{u}=(2,1,0) e \vec{v}=(1,-1,3) em \mathbb{R}^3 e pede o cosseno do ângulo \theta entre eles. Vamos usar a fórmula do produto escalar:
\cos(\theta) = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|}.

Passo 2

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}.
Pelo produto escalar em \mathbb{R}^3,
\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\cdot1 + 1\cdot(-1) + 0\cdot3 = 2 - 1 + 0 = 1.

Passo 3

Calcular as normas \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|.
\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5}, \qquad \|\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{11}.

Passo 4

Substituir na fórmula de \cos(\theta):
\cos(\theta) = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|} = \frac{1}{\sqrt{5}\,\sqrt{11}} = \frac{1}{\sqrt{55}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{55}}

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