Dados U e W subespaços do espaço vetorial V determine, nos seguintes casos:
(i) uma base e a dimensão de U.
(ii) uma base e a dimensão de W.
(iii) uma base e a dimensão de U cap W.
(iv) uma base e a dimensão de U+W.
U=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y+z+t=0, W=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y+z-t=0 e V=R^4

Passo 1

Beleza, então temos um exercício de Álgebra Linear onde estamos trabalhando com subespaços de um espaço vetorial, especificamente V = R^4 . Precisamos determinar bases e dimensões para os subespaços U , W , a interseção U cap W e a soma U + W . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como sistemas lineares, solução de equações, bases de subespaços e a relação entre eles.

Passo 2

Vamos começar analisando o subespaço U . Ele é definido pelas soluções da equação x - y + z + t = 0 . Isso significa que qualquer vetor em U deve satisfazer essa equação.
Para encontrar uma base para U , vamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos escolher, por exemplo, x :
x = y - z - t
Agora, podemos escrever um vetor genérico em U :
(x, y, z, t) = (y - z - t, y, z, t)
Isso pode ser reescrito como:
y cdot (1, 1, 0, 0) + z cdot (-1, 0, 1, 0) + t cdot (-1, 0, 0, 1)
Portanto, uma base para U é:
1 1 0 0 , -1 0 1 0 , -1 0 0 1
A dimensão de U é o número de vetores na base, que nesse caso é 3.

Passo 3

Agora vamos olhar para o subespaço W , definido pelas soluções da equação x + y + z - t = 0 . Assim como fizemos com U , vamos expressar uma variável em termos das outras. Vamos resolver para x :
x = -y - z + t
Um vetor genérico em W fica:
(x, y, z, t) = (-y - z + t, y, z, t)
Que pode ser escrito como:
y cdot (-1, 1, 0, 0) + z cdot (-1, 0, 1, 0) + t cdot (1, 0, 0, 1)
Então, uma base para W é:
-1 1 0 0 , -1 0 1 0 , 1 0 0 1
A dimensão de W também é 3.

Passo 4

Agora vamos encontrar a interseção [U \cap W), que consiste nos vetores que estão tanto em quanto em . Para isso, precisamos resolver o sistema de equações:
Vamos somar as duas equações para eliminar (t]:
Agora podemos expressar e em termos de e :
çõ
Então, os vetores em são da forma:
Podemos escrever isso como:
Portanto, uma base para é:
A dimensão de é 2.

Passo 5

Por fim, vamos determinar a soma U + W , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de U e um vetor de W .
Sabemos que:
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W)
dim(U + W) = 3 + 3 - 2 = 4
Como V = R^4 tem dimensão 4 e U + W também tem dimensão 4, concluímos que U + W = V .
Uma base para U + W será a base padrão de R^4 :
1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1

Resposta

(i) Base de U :
1 1 0 0 , -1 0 1 0 , -1 0 0 1
Dimensão de U : 3
(ii) Base de W :
-1 1 0 0 , -1 0 1 0 , 1 0 0 1
Dimensão de W : 3
(iii) Base de U cap W :
0 1 0 1 , -1 0 1 0
Dimensão de U cap W : 2
(iv) Base de U + W :
1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1
Dimensão de U + W : 4

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