Mostre que o conjunto das matrizes M(2 times 2) é um espaço vetorial com as operações usuais de adição e multiplicação por números reais.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para mostrar que o conjunto das matrizes M2 times 2 é um espaço vetorial usando as operações de adição de matrizes e multiplicação por números reais. Isso envolve entender o que é um espaço vetorial e ver se as matrizes de 2x2 seguem todas as regras desse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores que podem ser somados e multiplicados por escalares (números reais, no nosso caso), e essas operações precisam seguir certas propriedades, como comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro, etc.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as matrizes M2 times 2 . Cada matriz A nesse conjunto tem a forma:
A = a & b c & d
onde a, b, c, d são números reais. A adição de matrizes é feita somando os elementos correspondentes, e a multiplicação por um escalar é feita multiplicando cada elemento da matriz pelo número real.

Passo 4

Vamos verificar as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial:
  1. Fechamento sob adição: Se você pegar duas matrizes A e B em M2 times 2 , sua soma A + B também será uma matriz 2x2.
A + B = a1 + a2 & b1 + b2 c1 + c2 & d1 + d2
  1. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se você pegar uma matriz A e um número real k , o produto kA também será uma matriz 2x2.
kA = k a & k b k c & k d

Passo 5

Além disso, precisamos verificar as outras propriedades:
  • Associatividade da adição: (A + B) + C = A + (B + C)
  • Comutatividade da adição: A + B = B + A
  • Existência do elemento neutro: Existe uma matriz zero 0 tal que A + 0 = A
  • Existência do elemento inverso: Para cada matriz A , existe uma matriz -A tal que A + (-A) = 0
  • Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de matrizes: k(A + B) = kA + kB
  • Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (k + m)A = kA + mA
  • Compatibilidade da multiplicação por escalares: k(mA) = (km)A
  • Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1A = A

Passo 6

Todas essas propriedades são satisfeitas pelas operações padrão de adição e multiplicação por escalar nas matrizes 2x2. Por exemplo, a comutatividade da adição funciona porque a + b = b + a para números reais, e isso se reflete nos elementos das matrizes.

Passo 7

Como todas as propriedades necessárias para um espaço vetorial são atendidas pelas matrizes M2 times 2 com as operações usuais de adição e multiplicação por números reais, podemos concluir que esse conjunto é, de fato, um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto das matrizes M2 times 2 com as operações de adição e multiplicação por números reais é um espaço vetorial.

Exercícios relacionados