Verifique se o conjunto V=R^2, com as operações:
  • Adição: (x1, y1)+(x2, y2)=(x1, y1)
  • Multiplicação: k(x, y)=(k x, k y), com k in R, é um espaço vetorial real. Caso não seja, cite os axiomas que não são válidos.

Passo 1

O enunciado define em V=R^2 uma “adição” não usual
(x1,y1)+(x2,y2) = (x1,y1)
e a multiplicação escalar habitual
k(x,y) = (k x,,k y)
Queremos verificar se esses operadores satisfazem os axiomas de espaço vetorial real (fechamento, comutatividade, associatividade, existência de zero e inverso aditivo, distributividades, etc.).

Passo 2

Teste da comutatividade da adição: para quaisquer u=(x1,y1) e v=(x2,y2),
u+v = (x1,y1), v+u = (x2,y2)
Em geral (x1,y1)neq(x2,y2), logo
u+v neq v+u,
portanto falha o axioma de comutatividade da adição.

Passo 3

Procura do vetor nulo 0V que satisfaça 0V+v = v para todo v=(x,y). Se 0V=(a,b) então
0V+v = (a,b)neq(x,y)
salvo no caso trivial (a,b)=(x,y) que deveria valer para todo (x,y). Não existe um (a,b) fixo que funcione para todo v. Logo não há vetor nulo, falhando esse axioma.

Passo 4

Como não existe 0V, não há como definir, para vin V, um elemento -v tal que v+(-v)=0V. Assim falha a existência do inverso aditivo.

Passo 5

Teste da distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares: para k,linR e v=(x,y),
(k+l),v = l((k+l)x,,(k+l)yr),
enquanto
kv + lv = (kx,ky)+(lx,ly) = (kx,ky)
Em geral l((k+l)x,,(k+l)yr)neq(kx,ky), portanto falha a distributividade
(k+l)v = kv + lv.

Resposta

V com essas operações não é espaço vetorial, pois falham ao menos os seguintes axiomas: comutatividade da adição, existência do vetor nulo, existência do inverso aditivo e distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares.

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