Verifique se o conjunto
, com as operações:
- Adição:
- Multiplicação:
, com
, é um espaço vetorial real. Caso não seja, cite os axiomas que não são válidos.
Passo 1
O enunciado define em
uma “adição” não usual
e a multiplicação escalar habitual
Queremos verificar se esses operadores satisfazem os axiomas de espaço vetorial real (fechamento, comutatividade, associatividade, existência de zero e inverso aditivo, distributividades, etc.).
Passo 2
Teste da comutatividade da adição: para quaisquer
e
,
Em geral
, logo
portanto falha o axioma de comutatividade da adição.
Passo 3
Procura do vetor nulo
que satisfaça
para todo
. Se
então
salvo no caso trivial
que deveria valer para todo
. Não existe um
fixo que funcione para todo
. Logo não há vetor nulo, falhando esse axioma.
Passo 4
Como não existe
, não há como definir, para
, um elemento
tal que
. Assim falha a existência do inverso aditivo.
Passo 5
Teste da distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares: para
e
,
enquanto
Em geral
, portanto falha a distributividade
.