Dados subespaços H e K de um espaço vetorial V, a soma de H e K, denotada por H+K, é o conjunto de todos os vetores em V que podem ser escritos como a soma de dois vetores, um em H e outro em K, ou seja,
H+K=w: w=u+v para algum u in H, v in K.
(a) Mostre que H+K é um subespaço de V.
(b) Mostre que H e K são subespaços de H+K.

Passo 1

O enunciado diz que H e K são subespaços de um espaço vetorial V e define
H+K = ,w in V: w = u+v para algum uin H,;vin K
Queremos mostrar:
  1. H+K é subespaço de V.
  2. H e K são subespaços de H+K.
    Para isso vamos usar os critérios de subespaço: não vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que H+K não é vazio mostrando que 0Vin H+K. Como H e K são subespaços, 0Vin H e 0Vin K. Logo
0V = 0V + 0V
é soma de um vetor em H com um vetor em K, de modo que 0Vin H+K.

Passo 3

Verificamos o fechamento sob soma. Sejam
w1 = u1 + v1, w2 = u2 + v2
com u1,u2in H e v1,v2in K. Então
w1 + w2 = (u1+v1) + (u2+v2) = (u1+u2) + (v1+v2)
Como H é subespaço, u1+u2in H, e como K é subespaço, v1+v2in K. Logo w1+w2in H+K.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob escalar. Seja lambdainF (o corpo) e w = u+v com uin H, vin K. Então
lambda w = lambda(u+v) = (lambda u) + (lambda v)
Como H e K são subespaços, temos lambda uin H e lambda vin K. Assim lambda win H+K.

Passo 5

Pelos passos anteriores H+K contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação escalar. Portanto, H+K é subespaço de V.

Passo 6

Mostramos agora que Hsubseteq H+K e Ksubseteq H+K. Se uin H, como 0Kin K, temos
u = u + 0Kin H+K
Analogamente, se vin K, como 0Hin H,
v = 0H + vin H+K

Passo 7

Como H e K já são subespaços de V e acabamos de ver que estão contidos em H+K, todos os critérios de subespaço (não vazio, fechamento sob soma e escalar) valem em H+K. Logo, H e K são subespaços de H+K.

Resposta

(a) H+K é subespaço de V.
(b) H e K são subespaços de H+K.

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