Dados subespaços
e
de um espaço vetorial
, a soma de
e
, denotada por
, é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser escritos como a soma de dois vetores, um em
e outro em
, ou seja,
para algum
.
(a) Mostre que
é um subespaço de
.
(b) Mostre que
e
são subespaços de
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
e
são subespaços de um espaço vetorial
e define
Queremos mostrar:
-
é subespaço de . -
e são subespaços de .
Para isso vamos usar os critérios de subespaço: não vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio mostrando que
. Como
e
são subespaços,
e
. Logo
é soma de um vetor em
com um vetor em
, de modo que
.
Passo 3
Verificamos o fechamento sob soma. Sejam
com
e
. Então
Como
é subespaço,
, e como
é subespaço,
. Logo
.
Passo 4
Verificamos o fechamento sob escalar. Seja
(o corpo) e
com
,
. Então
Como
e
são subespaços, temos
e
. Assim
.
Passo 5
Pelos passos anteriores
contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação escalar. Portanto,
é subespaço de
.
Passo 6
Mostramos agora que
e
. Se
, como
, temos
Analogamente, se
, como
,
Passo 7
Como
e
já são subespaços de
e acabamos de ver que estão contidos em
, todos os critérios de subespaço (não vazio, fechamento sob soma e escalar) valem em
. Logo,
e
são subespaços de
.
Resposta
(a)
é subespaço de
.
(b) e
são subespaços de
.
(b)