Determine se os vetores a seguir são coplanares. Caso sejam, escreva um deles como combinação linear dos outros dois.
U=(0,-1,2), V=(-1,-1,1), W= (1,0,4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se os vetores U = (0, -1, 2), V = (-1, -1, 1) e W = (1, 0, 4) são coplanares. Se eles forem, a gente vai escrever um deles como uma combinação linear dos outros dois. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como o produto misto e determinantes. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que três vetores são coplanares. Três vetores são coplanares se eles estão todos no mesmo plano, ou seja, se um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Isso significa que existe uma maneira de multiplicar dois dos vetores por alguns números e somar os resultados para obter o terceiro vetor.

Passo 3

Para verificar se os vetores são coplanares, vamos usar o produto misto. O produto misto de três vetores U, V e W é dado pelo determinante da matriz formada por esses vetores:
Produto Misto = 0 & -1 & 2 -1 & -1 & 1 1 & 0 & 4
Se o produto misto for igual a zero, os vetores são coplanares.

Passo 4

Vamos calcular esse determinante. Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, podemos calcular da seguinte forma:
0 & -1 & 2 -1 & -1 & 1 1 & 0 & 4 = 0 cdot -1 & 1 0 & 4 - (-1) cdot -1 & 1 1 & 4 + 2 cdot -1 & -1 1 & 0
Calculando cada determinante menor:
= 0 cdot (-1 cdot 4 - 1 cdot 0) + 1 cdot (-1 cdot 4 - 1 cdot 1) + 2 cdot (-1 cdot 0 - (-1) cdot 1)
= 0 + 1 cdot (-4 -1) + 2 cdot (0 +1)
= 0 + (-5) + 2
= -3

Passo 5

O resultado do produto misto foi -3, que não é igual a zero. Isso significa que os vetores U, V e W não são coplanares. Portanto, não é possível escrever um deles como uma combinação linear dos outros dois.

Resposta

Os vetores U, V e W não são coplanares, já que o produto misto deles é diferente de zero.

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