Determine se os vetores a seguir são coplanares. Caso sejam, escreva um deles como combinação linear dos outros dois.
U=(0,3,1), V=(1,0,-1), W=(1,1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se os vetores U = (0, 3, 1), V = (1, 0, -1) e W = (1, 1, 0) são coplanares. Isso quer dizer que eles estão todos no mesmo plano. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto misto dos vetores. Se o produto misto for zero, os vetores são coplanares. Além disso, se forem, vamos escrever um dos vetores como uma combinação linear dos outros dois.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto misto dos três vetores. O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada pelos três vetores:
Produto Mist = 0 & 3 & 1 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0
Vamos calcular esse determinante:
0 & 3 & 1 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 = 0 cdot 0 & -1 1 & 0 - 3 cdot 1 & -1 1 & 0 + 1 cdot 1 & 0 1 & 1
Calculando cada menor:
0 cdot (0 cdot 0 - (-1) cdot 1) = 0
-3 cdot (1 cdot 0 - (-1) cdot 1) = -3 cdot (0 + 1) = -3
1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) = 1 cdot (1 - 0) = 1
Somando tudo:
0 - 3 + 1 = -2

Passo 3

Agora que temos o valor do produto misto, que é -2, vamos analisar se os vetores são coplanares. Se o produto misto fosse zero, os vetores seriam coplanares. Como -2 neq 0, isso significa que os vetores não são coplanares. Portanto, eles não estão todos no mesmo plano.

Resposta

Os vetores U, V e W não são coplanares, pois o produto misto deles é diferente de zero.

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