Dados os subespaços de \mathbb{R}^{4},
S_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) / x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}=0\right\} \mathrm{e}
S_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) / x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=0\right\}. Obter a dimensão de S_{1}+S_{2}.

Passo 1

O enunciado define os subespaços de \mathbb{R}^4 S_{1}=\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \mid x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}=0\},
S_{2}=\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \mid x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=0\}.
Queremos \dim(S_{1}+S_{2}). O conteúdo é soma de subespaços e usaremos a fórmula
\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V).

Passo 2

Cada um desses subespaços é o núcleo de uma única equação linear não nula em \mathbb{R}^4. Logo,
\dim S_{1}=4-1=3, \qquad \dim S_{2}=4-1=3.

Passo 3

Para achar \dim(S_{1}\cap S_{2}), resolvemos simultaneamente
\begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}=0,\\\ x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=0. \end{cases}
Como essas duas equações são linearmente independentes, o sistema impõe 2 restrições em 4 variáveis, portanto
\dim(S_{1}\cap S_{2})=4-2=2.

Passo 4

Aplicando a fórmula da dimensão da soma,
\dim(S_{1}+S_{2}) =\dim S_{1}+\dim S_{2}-\dim(S_{1}\cap S_{2}) =3+3-2=4.

Resposta

\displaystyle 4

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