Dados os subespaços vetoriais de
:
Determine uma base para os subespaços:
e
.
Passo 1
O enunciado define em
os subespaços
e pede bases para
,
,
e
. Vamos usar descrições paramétricas e o teorema da dimensão (fórmula de Grassmann) para encontrar essas bases.
Passo 2
Para achar uma base de
, impomos
. Assim
Logo
e
é uma base de
.
Passo 3
Para achar uma base de
, impomos
. Assim
Logo
e
é uma base de
.
Passo 4
O espaço
exige simultaneamente
e
. Daí
implica
. Logo
e
é uma base de
.
Passo 5
Pelo teorema de Grassmann,
Em
, todo subespaço de dimensão 3 é o próprio
. Logo
e uma base natural é a base canônica
.
Resposta
Base de
:
Base de :
Base de :
Base de :
Base de
Base de
Base de