Dados os subespaços vetoriais de R^3:
U=(x, y, z) in R^3: x+y=0 e V=(x, y, z) in R^3: x=0
Determine uma base para os subespaços: U, V, U+V e U cap V.

Passo 1

O enunciado define em R^3 os subespaços
U = (x,y,z)mid x+y=0 e V = (x,y,z)mid x=0,
e pede bases para U, V, U+V e Ucap V. Vamos usar descrições paramétricas e o teorema da dimensão (fórmula de Grassmann) para encontrar essas bases.

Passo 2

Para achar uma base de , impomos . Assim
Logo
e é uma base de .

Passo 3

Para achar uma base de , impomos . Assim
Logo
e é uma base de .

Passo 4

O espaço exige simultaneamente e . Daí implica . Logo
e é uma base de .

Passo 5

Pelo teorema de Grassmann,
dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(Ucap V)=2+2-1=3
Em R^3, todo subespaço de dimensão 3 é o próprio R^3. Logo
U+V=R^3
e uma base natural é a base canônica
(1,0,0),,(0,1,0),,(0,0,1).

Resposta

Base de U: (1,-1,0),,(0,0,1)
Base de V: (0,1,0),,(0,0,1)
Base de U+V: (1,0,0),,(0,1,0),,(0,0,1)
Base de Ucap V: (0,0,1)

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