Seja W um subespaço de um espaço vetorial V. Prove que se dim W=dim V então
W=V

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um espaço vetorial V e um subespaço Wsubseteq V tal que
dim W = dim V
O conteúdo que vamos usar é a teoria de bases e dimensão em espaços vetoriais finito-dimensionais, em particular o fato de que não existe conjunto de vetores linearmente independentes com mais elementos do que a dimensão do espaço, e que qualquer base de um subespaço pode, em princípio, ser estendida a uma base do espaço ambiente.

Passo 2

Como dim W = dim V e ambas são finitas, seja
n = dim W = dim V,
e tome w1,w2,dots,wn uma base de W. Por definição de base, esses vetores são linearmente independentes em W (e também em V), e geram W.

Passo 3

Agora mostremos que todo vetor vin V já está em W. Suponha, por absurdo, que exista vin V com vnotin W. Então o conjunto
w1,dots,wn,v
seria linearmente independente em V, pois se houvesse uma relação de dependência envolvendo v, ela forçaria uma relação de dependência apenas entre os wi, contradizendo que eles são independentes. Mas isso implicaria a existência de n+1 vetores linearmente independentes em V, o que contradiz dim V = n. Logo, não pode existir tal v, e portanto todo vin V está em W.

Resposta

Como Vsubseteq W e já tínhamos Wsubseteq V, concluímos que
W = V

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