Seja
um subespaço de um espaço vetorial
. Prove que se
então
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um espaço vetorial
e um subespaço
tal que
O conteúdo que vamos usar é a teoria de bases e dimensão em espaços vetoriais finito-dimensionais, em particular o fato de que não existe conjunto de vetores linearmente independentes com mais elementos do que a dimensão do espaço, e que qualquer base de um subespaço pode, em princípio, ser estendida a uma base do espaço ambiente.
Passo 2
Como
e ambas são finitas, seja
e tome
uma base de
. Por definição de base, esses vetores são linearmente independentes em
(e também em
), e geram
.
Passo 3
Agora mostremos que todo vetor
já está em
. Suponha, por absurdo, que exista
com
. Então o conjunto
seria linearmente independente em
, pois se houvesse uma relação de dependência envolvendo
, ela forçaria uma relação de dependência apenas entre os
, contradizendo que eles são independentes. Mas isso implicaria a existência de
vetores linearmente independentes em
, o que contradiz
. Logo, não pode existir tal
, e portanto todo
está em
.
Resposta
Como
e já tínhamos
, concluímos que