Qual é a matriz de mudança da base beta1=1, t para a base beta2=1,1+t em P1(R).

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de coordenadas de uma base beta1=1,t para outra beta2=1,,1+t no espaço P1(R).
Conteúdo: mudança de base em espaço de polinômios de grau <=1. Vamos expressar cada vetor de beta1 como combinação linear dos vetores de beta2 e montar a matriz cujas colunas são essas coordenadas.

Passo 2

Tomemos o primeiro vetor de beta1, que é 1. Procuramos escalares a,b tais que
1 ;=; acdot 1 ;+; bcdot(1+t) ;=;(a+b);+;b,t
Igualando coeficientes de termos constantes e de t, vem
a+b = 1, b = 0 Longrightarrow a=1,;b=0
Logo, em relação a beta2, temos
[,1,]beta2 =10

Passo 3

Agora o segundo vetor de beta1 é t. Buscamos a,b tais que
t ;=; acdot 1 ;+; bcdot(1+t) ;=;(a+b);+;b,t
Igualando coeficientes, obtemos
b = 1, a+b = 0 Longrightarrow a=-1,;b=1
Assim, em beta2
[,t,]beta2 =-11

Passo 4

A matriz de mudança de beta1 para beta2 tem como colunas os vetores [1]beta2 e [t]beta2. Portanto,
Pbeta2beta1 = 1 & -1 0 & ;1

Resposta

1 & -1 0 & 1

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