No R^3 consideremos as bases:
A=f1, f2, f3 e B=g1, g2, g3
assim relacionadas:
l g1=f1+f3 g2=2 f1+f2+f3 g3=f1+2 f2+f3
Determine [I]B^A e [I]A^B.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de
e as relações
Queremos as matrizes de mudança de base do operador identidade:
para coordenadas em , e
, o inverso.

Passo 2

Para achar [I]B^A, escrevemos cada gj em coordenadas de A. Assim,
g1=(1,0,1)A, g2=(2,1,1)A, g3=(1,2,1)A
Logo as colunas de [I]B^A são esses vetores:
[I]B^A = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1

Passo 3

Chamando
M=[I]B^A = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 ,
calculamos o determinante de M:
det(M) =1cdot1&21&1 -2cdot0&21&1 +1cdot0&11&1 =(1cdot1-2cdot1)-2(0cdot1-2cdot1)+(0cdot1-1cdot1) =-1-2(-2)-1=2

Passo 4

Agora fazemos a matriz dos cofatores C. Os Cij são
C11&=det1&21&1=-1,& C12&=-det0&21&1=2,& C13&=det0&11&1=-1, C21&=-det2&11&1=-1,& C22&=det1&11&1=0,& C23&=-det1&21&1=1, C31&=det2&11&2=3,& C32&=-det1&10&2=-2,& C33&=det1&20&1=1
A adjunta é adj(M)=C^T.

Passo 5

Finalmente
M^-1=1det(M),adj(M) =12 -1 & -1 & 3 2 & 0 & -2 -1 & 1 & 1
Esse é o operador identidade em coordenadas de A para B, ou seja,
[I]A^B=M^-1.

Resposta

[I]B^A = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 , [I]A^B =12 -1 & -1 & 3 2 & 0 & -2 -1 & 1 & 1

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