Os dados da tabela abaixo apresentam alguns valores da função
S(x)=\int_{0}^{x} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right) d t
chamada integral de Fresnel { }^{1}.
x 1.1 1.9 2.7 3.2 3.4 3.7 4.2 5
S(x) 0.3994 0.8658 0.5188 0.7385 0.5536 0.5641 0.5878 0.5279
Calcule o valor aproximado de S(3.5) utilizando interpolação linear e dê uma estimativa para o erro cometido sabendo que S^{\prime \prime}(x)=2 x \cos x^{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular uma aproximação para S(3{,}5) usando interpolação linear e fornecer uma estimativa do erro cometido, sabendo que S''(x)=2x\cos x^{2}.
Informações dadas (retirei os dados diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccccc} x & 1{,}1 & 1{,}9 & 2{,}7 & 3{,}2 & 3{,}4 & 3{,}7 & 4{,}2 & 5\\hline S(x) & 0{,}3994 & 0{,}8658 & 0{,}5188 & 0{,}7385 & 0{,}5536 & 0{,}5641 & 0{,}5878 & 0{,}5279 \end{array}
Ponto importante para a interpolação: 3{,}5 está entre 3{,}4 e 3{,}7, portanto usaremos os pares (a,S(a))=(3{,}4,\,0{,}5536) e (b,S(b))=(3{,}7,\,0{,}5641).

Passo 2

O método: interpolação linear entre dois pontos próximos. Vou explicar a fórmula e o porquê de ela funcionar.
Se temos dois pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) e queremos aproximar f(x) com uma reta entre esses pontos, a reta que passa por eles tem inclinação
m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
A interpolação linear em x é então
L(x)=f(a)+m(x-a).
Interpretando: m é a “taxa de variação média” entre a e b; ao avançar de a até x aplicamos esse ganho médio. Essa é a forma mais simples de aproximar uma função quando só temos dois pontos.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos nossos dados. Primeiro calculamos a inclinação:
m=\frac{S(3{,}7)-S(3{,}4)}{3{,}7-3{,}4} =\frac{0{,}5641-0{,}5536}{0{,}3} =\frac{0{,}0105}{0{,}3}=0{,}035.
Agora a interpolação em x=3{,}5 (note que 3{,}5-3{,}4=0{,}1):
L(3{,}5)=S(3{,}4)+m(3{,}5-3{,}4)=0{,}5536+0{,}035\cdot0{,}1=0{,}5536+0{,}0035=0{,}5571.
Portanto a aproximação por interpolação linear é \,0{,}5571.

Passo 4

Agora a estimativa do erro. Vou ensinar a fórmula do erro para interpolação linear (grau 1) de forma didática.
Se f é duas vezes diferenciável no intervalo [a,b], o resíduo (erro) da interpolação linear em um ponto x\in[a,b] pode ser escrito (fórmula de Lagrange para o resto):
R_1(x)=f(x)-L(x)=\frac{f''(\xi)}{2}(x-a)(x-b)
para algum \xi entre a e b. Isso significa que existe \xi tal que o erro tem essa forma; em particular, um limite absoluto do erro é
|R_1(x)|\le \frac{M}{2}\,| (x-a)(x-b) |,
onde M=\max_{t\in[a,b]}|f''(t)|. Aqui f'' é a segunda derivada da função verdadeira. Essa fórmula vem do teorema do resto de Lagrange para polinômios interpoladores (ou do desenvolvimento em série de Taylor com resto integral transformado).
No nosso caso f=S e já nos deram S''(x)=2x\cos x^{2}. Logo precisamos de um M que seja uma cota superior para |2x\cos x^{2}| em x\in[3{,}4,\,3{,}7].

Passo 5

Estimando M=\max_{x\in[3{,}4,3{,}7]}|S''(x)| de forma inteligente (não apenas usando 2x, que daria uma cota grosseira).
Temos S''(x)=2x\cos x^{2}. O fator 2x cresce lentamente no intervalo, e \cos x^{2} oscila entre -1 e 1. Para achar o máximo absoluto exato na faixa, note que |S''(x)| atinge um máximo quando |\cos x^{2}|=1 (se esse ponto com |\cos|=1 cair no intervalo) e naquele ponto |S''(x)|=2x.
Procuramos x tal que \cos x^{2}=1. Isso ocorre quando x^{2}=2\pi k para algum inteiro k. Tomando k=2 obtemos
x^{2}=4\pi\quad\Rightarrow\quad x=\sqrt{4\pi}=\sqrt{12{,}5663706}\approx 3{,}5449077,
que pertence ao intervalo [3{,}4,3{,}7]. Então em x\approx3{,}5449 temos \cos x^{2}=1 e, portanto,
\max_{[3{,}4,3{,}7]}|S''(x)|\ge S''(3{,}5449077)=2\cdot3{,}5449077\cdot1\approx 7{,}0898154.
Como |\cos|\le1, esse valor é, na verdade, o máximo absoluto M no intervalo. Assim podemos tomar
M\approx 7{,}0898154.

Passo 6

Calculemos agora a cota do erro em x=3{,}5 usando a fórmula:
|R_1(3{,}5)|\le \frac{M}{2}\,| (3{,}5-3{,}4)(3{,}5-3{,}7) |.
Compute os fatores:
3{,}5-3{,}4=0{,}1,\qquad 3{,}5-3{,}7=-0{,}2,\qquad (0{,}1)(-0{,}2)=-0{,}02,
logo o valor absoluto é 0{,}02. Substituindo M:
|R_1(3{,}5)|\le \frac{7{,}0898154}{2}\cdot 0{,}02 =3{,}5449077\cdot0{,}02=0{,}070898154\approx 0{,}0709.
Portanto a estimativa (cota superior) para o erro absoluto é aproximadamente 0{,}0709. Observação prática: essa é uma cota “pior caso” garantida; o erro real costuma ser menor.

Passo 7

Resumo final do que encontramos (para conferir rapidamente): a interpolação linear entre 3{,}4 e 3{,}7 S(3{,}5)\approx0{,}5571 e o erro absoluto está limitado por cerca de 0{,}0709. Força aí — a aproximação está pronta e a cota garante que o valor verdadeiro está entre aproximadamente 0{,}5571\pm0{,}0709.

Resposta

S(3{,}5)\approx 0{,}5571
Erro absoluto estimado: |S(3{,}5)-0{,}5571|\le 0{,}0709

Exercícios relacionados