Os dados da tabela abaixo foram coletados por intermédio de um simulador de chuva de 2 m X 4 m , que proporcionou uma precipitação de intensidade constante de 55 \mathrm{~mm} \mathrm{~h}^{-1}. Nessa tabela, apresentam-se o tempo e o volume acumulado, coletado na única seção de saída de escoamento superficial do experimento. A partir dos valores, calcule e/ou determine:
Tempo (min) 0 5 10 20 30 40 50 60 70
Volume acumulado (L) 0* 0** 4,3 30,9 72,2 121,5 174,8 231,1 289,0
Tempo (min) 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Volume acumulado (L) 347,4 406,7 466,3 526,1 586,0 645,9 705,9 765,9 825,9
  • início da precipitação. ** início do escoamento superficial.
    a) (1 ponto) As lâminas infiltradas ao longo do tempo, as velocidade de infiltração de água no solo (V i=\Delta I / \Delta t) e determine a velocidade de infiltração básica (VIB).
    b) (1 ponto) O ajuste de forma analítica dos dados ao modelo de Kostiakov.
    c) (1 ponto) A partir do modelo ajustado, o tempo necessário para infiltar uma lâmina de 20 mm .

Passo 1

Resumindo o enunciado: choveu com intensidade constante de 55\\ \mathrm{mm/h} sobre uma área de 2\times4=8\\ \mathrm{m}^2. Foi medido o volume acumulado de escoamento superficial V(t) em litros. Como 1\\ \mathrm{L} sobre 1\\ \mathrm{m}^2 corresponde a 1\\ \mathrm{mm} de lâmina, a lâmina de escoamento em \mathrm{mm} é
R_{\mathrm{runoff}}(t)=\frac{V(t)}{8}\,.
A lâmina total de chuva até o tempo t (em minutos) é
R_{\mathrm{rain}}(t)=\Bigl(\frac{55}{60}\Bigr)\,t\quad[\mathrm{mm}].
Logo, a lâmina infiltrada é
I(t)=R_{\mathrm{rain}}(t)-R_{\mathrm{runoff}}(t).
A velocidade de infiltração instantânea aproximada é
V_i=\frac{\Delta I}{\Delta t},
e a velocidade de infiltração básica VIB corresponde ao valor assintótico de V_i em tempos longos. Em seguida ajustamos o modelo de Kostiakov
I(t)=K\,t^a
por regressão linear em escala logarítmica e, por fim, determinamos o tempo t tal que I(t)=20\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Cálculo de I(t), V_i e VIB. Tomando alguns pontos:
t (min) V (L) R_{\mathrm{rain}} (mm) R_{\mathrm{runoff}} (mm) I (mm) V_i (mm/min)
10 4,3 0{,}9167\cdot10=9{,}167 4{,}3/8=0{,}5375 8{,}6295 (8{,}6295-4{,}583)/5=0{,}809
20 30,9 18,333 3,8625 14,4705 (14{,}4705-8{,}6295)/10=0{,}584
160 825,9 146,667 103,2375 43,4295 (43{,}4295-41{,}7625)/10=0{,}167
Observa-se que V_i decai de cerca de 0{,}81\\ \mathrm{mm/min} para valores próximos de 0{,}17\\ \mathrm{mm/min}. Assim, a velocidade de infiltração básica (valor assintótico) é
VIB\approx0{,}17\\ \mathrm{mm/min}\quad(\approx10\\ \mathrm{mm/h}).

Passo 3

Ajuste pelo modelo de Kostiakov I(t)=K\,t^a. Aplicando \ln I=\ln K + a\ln t e fazendo regressão linear sobre os pontos de t entre 10 min e 160 min obtém-se
a\approx0{,}546,\qquad K\approx2{,}73,
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I(t)\approx2{,}73\;t^{0.546}.

Passo 4

Tempo para infiltrar 20\\ \mathrm{mm}: basta resolver
2{,}73\;t^{0.546}=20 \quad\Longrightarrow\quad t=\Bigl(\tfrac{20}{2{,}73}\Bigr)^{1/0.546}\approx38{,}4\\ \mathrm{min}.

Resposta

a) A velocidade básica de infiltração é VIB\approx0{,}17\\ \mathrm{mm/min} ( \approx 10 mm/h).
b) Ajuste Kostiakov: I(t)=2{,}73\,t^{0.546}.
c) Tempo para infiltrar 20 mm: t\approx38{,}4\\ \mathrm{min}.

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