( 1,0 ponto) Um reservatório com volume útil de 600 hectômetros cúbicos (milhões de \mathrm{m}^{3} ) pode garantir uma vazão regularizada de 60 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~s}^{-1}, considerando a sequência de vazões de entrada do quadro ao lado? Considere o reservatório inicialmente cheio, a evaporação nula e que cada mês tem 2,592 milhões de segundos. Em caso negativo, a partir de que vazão seria possível a regularização.
Mês Vazão (m3/s)
Janeiro 60
Fevereiro 20
Março 10
Abril 5
Maio 12
Junho 13
Julho 24
Agosto 58
Setembro 90
Outubro 102
Novembro 120
Dezembro 78

Passo 1

O enunciado trata de um balanço hídrico de um reservatório com volume útil inicial de 600 h m^{3} (ou seja, 600\times10^{6} m^{3}), que deve fornecer uma vazão regulada q constante durante 12 meses. As vazões de entrada mensais \{q_{\text{in},i}\} em m^{3}/s estão dadas na tabela. Cada mês tem 2{,}592\times10^{6} s. Queremos verificar se q=60 m^{3}/s é viável (i.e., o reservatório nunca seca) e, caso não, achar o maior q possível.

Passo 2

Chamemos
V_{0}=600\times10^{6}\,\text{m}^3, \quad T=2{,}592\times10^{6}\,\text{s},
e definamos o volume no fim do mês i por
V_i = V_{i-1} + \bigl(q_{\text{in},i}-q\bigr)\,T.
Para q=60 m^{3}/s, o volume mensal retirado é
q\,T = 60\times2{,}592\times10^{6} = 155{,}52\times10^{6}\,\text{m}^3.

Passo 3

Calculamos mês a mês o acréscimo \Delta V_i=(q_{\text{in},i}-60)\,T e o volume acumulado:
\begin{aligned} \Delta V_1&=(60-60)\,T=0,& V_1&=600,00,\\\ \Delta V_2&=(20-60)\,T=-103{,}68,& V_2&=496{,}32,\\\ \Delta V_3&=(10-60)\,T=-129{,}60,& V_3&=366{,}72,\\\ \Delta V_4&=(5-60)\,T=-142{,}56,& V_4&=224{,}16,\\\ \Delta V_5&=(12-60)\,T=-124{,}42,& V_5&=99{,}74,\\\ \Delta V_6&=(13-60)\,T=-121{,}82,& V_6&=-22{,}08\\ (\text{negativo}). \end{aligned}
No mês 6 o volume fica negativo, logo q=60 m^{3}/s não é viável.

Passo 4

Para achar o maior q que mantenha V_i\ge0 em todo mês, note que ao mês k vale
V_k = V_0 + T\sum_{i=1}^k \bigl(q_{\text{in},i}-q\bigr) = V_0 + T\sum_{i=1}^k q_{\text{in},i} \;-\; k\,q\,T \;\ge\;0.
Isto implica, para cada k,
q \;\le\;\frac{V_0/T + \sum_{i=1}^k q_{\text{in},i}}{k}.
Calculando \bigl(V_0/T + \sum_{i=1}^k q_{\text{in},i}\bigr)/k para k=1,\dots,12, obtém‐se o valor mínimo em k=7, que dá
q_{\max} \approx53{,}64\;\text{m}^3\!/s.

Resposta

Não é possível regularizar 60 m^{3}/s (o reservatório secaria no 6º mês).
O maior valor de vazão constante que pode ser garantido é aproximadamente 53{,}64 m^{3}/s.

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