Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências.
\left\{\frac{1}{3}, \frac{2}{9}, \frac{4}{27}, \frac{8}{81}, \cdots\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termos
\left\{\frac{1}{3},\frac{2}{9},\frac{4}{27},\frac{8}{81},\ldots\right\} e pede que a gente determine uma expressão que gere esses termos (o termo geral).
Informações fornecidas: os primeiros quatro termos são \frac{1}{3}, \frac{2}{9}, \frac{4}{27} e \frac{8}{81}.
O que precisamos entregar: uma fórmula a_n (dependendo de n) que, ao tomar n=1,2,3,\ldots, produza esses valores.

Passo 2

Vamos olhar separadamente numeradores e denominadores para ver um padrão fácil de enxergar.
Numeradores: 1,2,4,8,\ldots. Esse é claramente o crescimento 1,2,2^2,2^3,\ldots, ou seja, o numerador do n-ésimo termo parece ser 2^{n-1} (porque para n=1 2^{0}=1).
Denominadores: 3,9,27,81,\ldots. Esse é 3,3^2,3^3,3^4,\ldots, ou seja, o denominador do n-ésimo termo parece ser 3^{n} se alinharmos n=1 com 3^1.

Passo 3

Outra forma muito direta de identificar o tipo de sequência é calcular a razão entre termos consecutivos. Calculemos
\frac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{3}}=\frac{2}{9}\cdot\frac{3}{1}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3},
\frac{\frac{4}{27}}{\frac{2}{9}}=\frac{4}{27}\cdot\frac{9}{2}=\frac{36}{54}=\frac{2}{3},
\frac{\frac{8}{81}}{\frac{4}{27}}=\frac{8}{81}\cdot\frac{27}{4}=\frac{216}{324}=\frac{2}{3}.
A razão entre qualquer termo e o anterior é sempre \frac{2}{3}. Isso nos diz que a sequência é geométrica com razão r=\frac{2}{3}.

Passo 4

Revisão curta e prática do que é uma sequência geométrica (aula rápida): uma sequência (a_n) é geométrica se existe um número r tal que cada termo é obtido multiplicando o anterior por r. O termo geral de uma sequência geométrica com primeiro termo a_1 e razão r é
a_n = a_1 \, r^{\,n-1}.
Aqui a_n é o termo de posição n (quando n=1 a_1), a_1 é o primeiro termo, r é a razão comum, e n-1 é o número de multiplicações por r que fizemos a partir do primeiro termo.

Passo 5

Identificando na nossa sequência: o primeiro termo é a_1=\frac{1}{3} (para n=1) e a razão é r=\frac{2}{3}. Substituindo na fórmula da sequência geométrica:
a_n = \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}.
Essa já é uma expressão válida e bem prática para usar na prova.

Passo 6

Mostro que essa forma é equivalente àquela observada no Passo 2 (numerador 2^{n-1} e denominador 3^{n}). Usando propriedades de potências:
\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{2^{\,n-1}}{3^{\,n-1}}=\frac{2^{\,n-1}}{3^{\,n-1}\cdot 3}=\frac{2^{\,n-1}}{3^{\,n}}.
Portanto as duas formas são idênticas.

Passo 7

Verificação rápida (pra dar confiança): para n=1
a_1=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{0}=\frac{1}{3},
para n=2
a_2=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{1}=\frac{2}{9},
para n=3
a_3=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{27},
e assim por diante — bate certinho com os termos dados.

Resposta

a_n=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}=\frac{2^{\,n-1}}{3^{\,n}}

Exercícios relacionados