Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências.
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termos
e pede que a gente determine uma expressão que gere esses termos (o termo geral).
Informações fornecidas: os primeiros quatro termos são ,
,
e
.
O que precisamos entregar: uma fórmula (dependendo de
) que, ao tomar
, produza esses valores.
Informações fornecidas: os primeiros quatro termos são
O que precisamos entregar: uma fórmula
Passo 2
Vamos olhar separadamente numeradores e denominadores para ver um padrão fácil de enxergar.
Numeradores: . Esse é claramente o crescimento
, ou seja, o numerador do
-ésimo termo parece ser
(porque para
dá
).
Denominadores: . Esse é
, ou seja, o denominador do
-ésimo termo parece ser
se alinharmos
com
.
Numeradores:
Denominadores:
Passo 3
Outra forma muito direta de identificar o tipo de sequência é calcular a razão entre termos consecutivos. Calculemos
A razão entre qualquer termo e o anterior é sempre
. Isso nos diz que a sequência é geométrica com razão
.
Passo 4
Revisão curta e prática do que é uma sequência geométrica (aula rápida): uma sequência
é geométrica se existe um número
tal que cada termo é obtido multiplicando o anterior por
. O termo geral de uma sequência geométrica com primeiro termo
e razão
é
Aqui
é o termo de posição
(quando
dá
),
é o primeiro termo,
é a razão comum, e
é o número de multiplicações por
que fizemos a partir do primeiro termo.
Passo 5
Identificando na nossa sequência: o primeiro termo é
(para
) e a razão é
. Substituindo na fórmula da sequência geométrica:
Essa já é uma expressão válida e bem prática para usar na prova.
Passo 6
Mostro que essa forma é equivalente àquela observada no Passo 2 (numerador
e denominador
). Usando propriedades de potências:
Portanto as duas formas são idênticas.
Passo 7
Verificação rápida (pra dar confiança): para
para
para
e assim por diante — bate certinho com os termos dados.