Dados o terno n=(a, b, c) e o plano pi de equação a x+b y+c z=d:
Qual é a distância do plano pi até a origem?

Passo 1

O enunciado pede a distância da origem O=(0,0,0) até o plano pi de equação
a x + b y + c z = d
O conteúdo aqui é a distância de um ponto a um plano no espaço, que se calcula projetando o vetor posição no vetor normal n=(a,b,c) do plano.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação do plano na forma
a x + b y + c z + D = 0,
o que equivale a
a x + b y + c z - d = 0,
logo identificamos D = -d. A fórmula geral da distância do ponto (x0,y0,z0) ao plano a x + b y + c z + D = 0 é
dist = l|a x0 + b y0 + c z0 + Dr|raiza^2 + b^2 + c^2

Passo 3

Aplicando a fórmula para a origem (x0,y0,z0)=(0,0,0) e D=-d, vem
dist = l|acdot0 + bcdot0 + ccdot0 - dr|raiza^2 + b^2 + c^2 = |d|raiza^2 + b^2 + c^2

Resposta

|d|raiza^2 + b^2 + c^2

Exercícios relacionados