Determine as equações de:
Um plano que contém o ponto A=(1,1,1) e a reta de equações paramétricas x=t+1, y=t-1, z=t, t in R.

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano que passa pelo ponto A=(1,1,1) e contém a reta
x=t+1, y=t-1, z=t, tinR
Aqui o conteúdo principal é Geometria Analítica espacial: usamos vetores diretores da reta e um vetor que liga A a um ponto da reta para determinar o plano.

Passo 2

Extraímos a forma vetorial da reta. Se chamarmos r(t)=(x,y,z), temos
r(t)=(1,, -1,,0)+t,(1,1,1)
Logo, um vetor diretor da reta é
v=(1,1,1)

Passo 3

Escolhemos um ponto da reta, por exemplo em t=0:
P=(1,-1,0)
Então o vetor que liga A a P é
AP=P-A=(1-1,,-1-1,,0-1)=(0,-2,-1)

Passo 4

Para achar um vetor normal n ao plano, fazemos o produto vetorial
n=vtimesAP=(1,1,1)times(0,-2,-1)
Calculando em coordenadas:
n=l(1cdot(-1)-1cdot(-2),;-l(1cdot(-1)-1cdot0r),;1cdot(-2)-1cdot0r)=(1,1,-2)

Passo 5

A equação cartesiana do plano é dada por ncdot(,(x,y,z)-A)=0, isto é,
(1,1,-2)cdotl(x-1,;y-1,;z-1r)=0
Fazendo o produto escalar e simplificando, obtemos
x+y-2z=0

Passo 6

Uma forma paramétrica do mesmo plano usa dois parâmetros s,t e dois vetores diretores v e AP:
(x,y,z)=(1,1,1)+s,(1,1,1)+t,(0,-2,-1), s,tinR

Resposta

Equação cartesiana:
x+y-2z=0
Equação paramétrica:
(x,y,z)=(1,1,1)+s,(1,1,1)+t,(0,-2,-1), s,tinR

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