Os dados de um teste de proveta para dimensionamento de um sedimentador de polpa de frutas estão apresentados na tabela a seguir:
Tempo (min)
0
5
15
30
45
60
Altura da interface (ft)
5,0
3,9
1,9
1,1
0,95
0,8
Justificando sua resposta, calcule o ponto crítico.
Passo 1
Beleza, o exercício fala de um teste de proveta em que a gente anotou, ao longo do tempo, a altura da interface sólido–líquido. Em cada minuto de teste (0, 5, 15, 30, 45 e 60 min) temos uma altura em pés.
Conteúdo: dimensionamento de sedimentador, mais exatamente encontrar o “ponto crítico” na curva altura × tempo.
O que precisamos:
Entender que o ponto crítico é onde a velocidade instantânea de sedimentação (a derivada dH/dt) é igual à velocidade média H/t.
Saber calcular inclinações (taxas de variação) e resolver uma equação simples.
Passo 2
Teoria na prática:
A curva H(t) mostra a altura da interface decrescendo.
A velocidade instantânea de decaimento é .
A velocidade média até o tempo é .
O ponto crítico é o valor de onde essas duas se igualam:
Graphicamente, é o ponto onde a reta que vem da origem toca a curva com a mesma inclinação.
Passo 3
Vamos calcular a inclinação média (aproximação de dHdtapprox3,9-5,05-0=-1,15=-0,22;ft/min ) em cada intervalo:
Intervalo 0–5 min:
dHdtapprox1,9-3,915-5=-2,010=-0,20;ft/min
5–15 min:
dHdtapprox1,1-1,930-15=-0,815approx-0,053;ft/min
15–30 min:
(Os outros intervalos são menores ainda e não vão ser o crítico.)
Passo 4
Agora calculamos a velocidade média nos tempos dados:
t=5 min: ft/min
t=15 min: ft/min
Repare que em 5 min a média (0,78) é maior que a instantânea (~0,22) e em 15 min a média (0,127) é menor que a instantânea (~0,20). Isso indica que o ponto crítico está entre 5 e 15 min.
Passo 5
Entre 5 e 15 min a gente pode aproximar H(t)=3,9 + (t-5)times(-0,20);=;4,9-0,20,t por uma reta:
H(t)t = -dHdt = 0,20
A derivada ali é constante e vale 4,9 - 0,20,tt = 0,20 Longrightarrow 4,9 - 0,20,t = 0,20,t Longrightarrow 4,9 = 0,40,t Longrightarrow tc = 4,90,40 = 12,25;min . Então basta resolver
Hc = 4,9 - 0,20times12,25 = 4,9 - 2,45 = 2,45;ft
Substituindo :
E a altura crítica fica
Resposta
O ponto crítico ocorre em
t_c ≃ 12,25 min com H_c ≃ 2,45 ft.