Sejam A, B e C três subconjuntos de um conjunto E. Dar uma escritura mais simples dos seguintes conjuntos :
((A \cup B) \cap(B \cap C)) \cup(A \cup C).

Passo 1

O enunciado pede para simplificar
((A\cup B)\cap(B\cap C))\;\cup\;(A\cup C).
Estamos lidando com álgebra de conjuntos, então vamos usar propriedades como:
  • absorção \;X\cap(X\cup Y)=X e \;X\cup(X\cap Y)=X,
  • associatividade e comutatividade de \cup e \cap.

Passo 2

Simplificamos primeiro
(A\cup B)\cap(B\cap C).
Como B\subseteq A\cup B, temos
(A\cup B)\cap B = B.
Logo
(A\cup B)\cap(B\cap C) = \bigl((A\cup B)\cap B\bigr)\cap C = B\cap C.

Passo 3

Substituindo na expressão original, fica
(B\cap C)\;\cup\;(A\cup C).
Por comutatividade e associatividade de \cup, podemos reescrever
(B\cap C)\cup(A\cup C) = (A\cup C)\cup(B\cap C).

Passo 4

Agora aplicamos a absorção
C\cup(B\cap C)=C,
então
(A\cup C)\cup(B\cap C) = A\cup C.

Resposta

A\cup C

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