Dados três números complexos
e
. Mostre que
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjugado do produto de três números complexos, ou seja,
, é igual ao produto dos conjugados desses números, isto é,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o conjugado de um número complexo e como ele se comporta em operações de multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o conjugado de um número complexo. Se temos um número complexo
, onde
e
são números reais, o conjugado de
é dado por
. Basicamente, a parte imaginária muda de sinal.
Passo 3
Agora, vamos considerar o produto de três números complexos:
. Queremos encontrar o conjugado desse produto, isto é,
.
Passo 4
Sabemos que o conjugado de um produto de dois números complexos é igual ao produto dos conjugados, ou seja,
. Vamos aplicar essa propriedade passo a passo para três números.
Passo 5
Primeiro, aplicamos a propriedade para os dois primeiros números:
Passo 6
Agora, temos o produto acima multiplicado por
:
Passo 7
Substituindo a expressão do Passo 5:
Resposta
Portanto, mostramos que
.