3^{a} ) Dados três pontos A, B e C não colineares, represente o vetor \vec{x} no caso \vec{x}=\overrightarrow{B C}-3 \overrightarrow{A B}. (Vale 1 ponto)

Passo 1

O enunciado dá três pontos não colineares A, B e C e pede para representar o vetor
\vec{x} = \overrightarrow{BC} \;-\; 3\,\overrightarrow{AB}.
Vamos usar operações vetoriais (soma, subtração e multiplicação por escalar) e a relação de vetores ponta-cabeça.

Passo 2

Escrevemos \overrightarrow{BC} como soma de vetores que partem de A, usando o “caminho” B\to A\to C:
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}.

Passo 3

Substituindo em \vec{x}:
\vec{x} = \bigl(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\bigr) - 3\,\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} - 3\,\overrightarrow{AB}.

Passo 4

Como \overrightarrow{BA} = -\,\overrightarrow{AB}, agrupamos termos em \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\vec{x} = -\,\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - 3\,\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - 4\,\overrightarrow{AB}.

Resposta

\vec{x} = \overrightarrow{AC} - 4\,\overrightarrow{AB}

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