4^{\text {a }} ) Dado o vetor \vec{v}=(-2,-1,4), determine o vetor paralelo a \vec{v} que tenha que tenha sentido contrário ao de \vec{i} e três vezes o módulo de \vec{v}. (Vale 1 ponto)

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(-2,-1,4) e pede um vetor paralelo a \vec{v} que tenha módulo três vezes maior que o de \vec{v} e cujo sentido seja contrário ao de \vec{i} (isto é, com componente x negativa). Para resolver, vamos usar que qualquer vetor paralelo a \vec{v} é da forma k\vec{v}, que seu módulo satisfaz \|k\vec{v}\|=|k|\,\|\vec{v}\|, e que o sinal de k determina o sentido.

Passo 2

Calculamos o módulo de \vec{v}:
\|\vec{v}\| =\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+4^{2}} =\sqrt{4+1+16} =\sqrt{21}.

Passo 3

Queremos \|k\vec{v}\|=3\,\|\vec{v}\|. Como \|k\vec{v}\|=|k|\,\|\vec{v}\|, segue
|k|\,\sqrt{21}=3\,\sqrt{21} \quad\Longrightarrow\quad |k|=3.
Para que o vetor resultante tenha componente x negativa (sentido oposto ao de \vec{i}), observamos que \vec{v} já tem v_x=-2. Multiplicar por k>0 preserva o sinal de v_x, enquanto k<0 o inverte. Logo, escolhemos k=3.

Passo 4

Multiplicando \vec{v} por k=3, obtemos
3\vec{v} =3(-2,-1,4) =(-6,-3,12).

Resposta

(-6,-3,12)

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