Mostre que:
(x+i y)^2(x-i y)^2=(x^2+y^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos ver esse exercício juntos! A gente precisa provar que (x + i y)^2 (x - i y)^2 = (x^2 + y^2)^2. Aqui, estamos trabalhando com números complexos e propriedades de multiplicação. Vamos precisar lembrar como multiplicar expressões com i (a unidade imaginária) e usar algumas regras básicas de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é i. Sabemos que i é a unidade imaginária, onde i^2 = -1. Agora, vamos olhar para a expressão (x + i y)(x - i y). Isso é o produto de um número complexo por seu conjugado.

Passo 3

Multiplicando (x + i y) por (x - i y), usamos a distributiva:
(x + i y)(x - i y) = x cdot x + x cdot (-i y) + i y cdot x + i y cdot (-i y)
Simplificando cada termo:
x^2 - i x y + i x y - i^2 y^2
Como -i x y + i x y = 0 e i^2 = -1, fica:
x^2 - (-1) y^2 = x^2 + y^2

Passo 4

Agora, voltando à expressão original (x + i y)^2 (x - i y)^2, podemos reescrever como [(x + i y)(x - i y)]^2. Já vimos que (x + i y)(x - i y) = x^2 + y^2, então:
[(x + i y)(x - i y)]^2 = (x^2 + y^2)^2

Resposta

Portanto, mostramos que (x + i y)^2 (x - i y)^2 = (x^2 + y^2)^2.

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