Encontre a equação geral do plano que contém a reta interseção de alpha: 3 x-y+2 z+9=0 e beta: x+z-3=0 e que dista 2 unidades da origem. Sugestão: Usar a noção de feixe de planos contendo uma reta fixada.

Passo 1

O enunciado pede o plano que contém a reta de interseção de
alpha:3x - y + 2z + 9 = 0
e
beta: x + z - 3 = 0
e cuja distância ao ponto (0,0,0) é 2.
Conteúdo: feixe de planos contendo uma reta fixa e fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Como qualquer plano do feixe que contém a reta alphacapbeta pode ser escrito como combinação linear
alpha + k,beta = 0,
introduzimos o parâmetro k e obtemos a equação geral
(3 + k)x ;-; y ;+;(2 + k)z ;+;(9 - 3k) ;=; 0
Aqui A=3+k, B=-1, C=2+k e D=9-3k.

Passo 3

A distância do ponto origem ao plano Ax+By+Cz+D=0 é
d = lvert DrvertraizA^2 + B^2 + C^2
Queremos d=2, isto é
lvert 9 - 3krvertraiz(3+k)^2 + (-1)^2 + (2+k)^2 = 2

Passo 4

Quadrando ambos os lados e simplificando:
(9 - 3k)^2 = 4l((3+k)^2 + 1 + (2+k)^2r) ;Longrightarrow; k^2 - 94k + 25 = 0
As raízes são
k = 94 pm raiz94^2 - 4cdot252 = 47 pm 2raiz546

Passo 5

Para cada valor de k obtemos um dos dois planos desejados. Substituindo em
(3 + k)x - y + (2 + k)z + (9 - 3k) = 0, temos:
Para k1 = 47 + 2raiz546:
(50 + 2raiz546),x ;-; y ;+;(49 + 2raiz546),z ;-;(132 + 6raiz546) ;=; 0
Para k2 = 47 - 2raiz546:
(50 - 2raiz546),x ;-; y ;+;(49 - 2raiz546),z ;-;(132 - 6raiz546) ;=; 0

Resposta

boxed &(50 + 2raiz546),x - y + (49 + 2raiz546),z - (132 + 6raiz546) = 0, &(50 - 2raiz546),x - y + (49 - 2raiz546),z - (132 - 6raiz546) = 0

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