Dados: tubos de ferro fundido k_{\mathrm{s} 1}=12 ; k_{\mathrm{s} 2}=k_{\mathrm{s} 6}=0,8 ; k_{\mathrm{s} 3}=k_{\mathrm{s} 5}=8 ; k_{\mathrm{s} 7}=1,3 ; k_{\mathrm{s} 4}=0,6 ; \gamma=10^{4} \mathrm{N} / \mathrm{m}^{3} ; v=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}; Indica-se com índice S o que se refere à sucção e com R o que se refere ao recalque. Dados: D_{\mathrm{s}}=20 \mathrm{~cm} ; D_{\mathrm{r}}=12 \mathrm{~cm}. Pressão p_{8} mantida igual a 600 kPa constante. Rendimento da bomba é 0,8 e a vazão é 50 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Qualquer cálculo desnecessário será descontado. Determine:
a) energia no ponto 8 ;
b) velocidade de sucção;
c) perda distribuída na tubulação de sucção;
d) perda localizada na tubulação de sucção;
e) velocidade de recalque;
f) perda distribuída na tubulação de recalque;
g) perda localizada na tubulação de recalque;
h) perda total;
i) potência da bomba.

Passo 1

O enunciado pede que se determine, para a instalação representada, as quantidades (a) a (i) listadas (energia no ponto 8; velocidades; perdas distribuídas e localizadas nas linhas de sucção e recalque; perda total; potência da bomba).
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado e da imagem):
  • Coeficientes de perda localizada (fittings): \,k_{1}=12,\; k_{2}=k_{6}=0,8,\; k_{3}=k_{5}=8,\; k_{7}=1,3,\; k_{4}=0,6.
  • Peso específico do fluido: \gamma=10^{4}\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • Viscosidade cinemática: \nu=10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Diâmetros das tubulações:
    • sucção: \,D_{s}=0,20\\ \mathrm{m}.
    • recalque: \,D_{r}=0,12\\ \mathrm{m}.
  • Vazão: \,Q=50\\ \mathrm{L/s}=0,05\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Pressão no ponto 8 mantida constante: \,p_{8}=600\\ \mathrm{kPa}=600000\\ \mathrm{Pa}.
  • Rendimento (eficiência) da bomba: \eta=0,8.
Dados geométricos extraídos da imagem (peguei estes comprimentos e cotas da imagem):
  • Distâncias na linha de recalque (entre centro da bomba e nível d’água no reservatório 8):
    • altura vertical do centro da bomba até o ponto (7): 6\\ \mathrm{m};
    • ponto (7) fica a 1\\ \mathrm{m} abaixo da cota do nível (8) (ou seja, do nível livre do reservatório);
    • comprimento horizontal da tubulação de recalque: 30\\ \mathrm{m}.
  • Distâncias na linha de sucção:
    • comprimento horizontal da tubulação de sucção (entre cotovelo e queda à bomba): 10\\ \mathrm{m}.
    • queda vertical entre essa horizontal e o centro da bomba: 2\\ \mathrm{m}.
    • cima do cotovelo junto ao reservatório de sucção está 0,5\\ \mathrm{m} acima do nível livre do reservatório (conforme desenho);
    • portanto, o centro da bomba situa-se 1,5\\ \mathrm{m} abaixo do nível livre do reservatório de sucção (ou seja, cota do nível de sucção relativa ao centro da bomba: +1,5\\ \mathrm{m}).
  • Observação sobre localização das perdas locais (peguei da imagem):
    • na sucção existem os elementos (1) válvula de pé com crivo \Rightarrow k_{1}, (2) cotovelo \Rightarrow k_{2}, (3) registro tipo globo \Rightarrow k_{3} próximo à bomba;
    • no recalque existem (4) válvula de retenção \Rightarrow k_{4}, (5) alargamento brusco \Rightarrow k_{5}, (6) cotovelo \Rightarrow k_{6} e (7) saída/entrada no reservatório \Rightarrow k_{7}.
Constantes úteis que usarei (não pedidas mas necessárias):
  • aceleração da gravidade: \,g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • densidade do fluido: \rho=\gamma/g=10^{4}/9,81\\ \mathrm{kg/m^{3}} (quando necessário).

Passo 2

Conceito rápido (mini-aula): a “energia por unidade de peso” num ponto de um fluido é dada por
\text{Energia}=\frac{p}{\gamma}+z+\alpha\frac{V^{2}}{2g},
onde \,p/\gamma é a altura piezométrica (pressão convertida em metros de fluido), z é a cota geométrica referida a um datum, e o termo de velocidade \alpha V^{2}/(2g) é geralmente desprezável em reservatórios grandes (velocidade ≈ 0). Aqui tomo o centro da bomba como datum z=0.
Peguei da imagem: a cota do nível do reservatório 8 está a 7\\ \mathrm{m} acima do centro da bomba (6 m até a tomada (7) mais 1 m até o nível (8)). Assim
\frac{p_{8}}{\gamma}=\frac{600000}{10000}=60\\ \mathrm{m}, \qquad z_{8}=7\\ \mathrm{m},
e a velocidade no reservatório é desprezível (V\approx 0). Portanto a energia no ponto 8 vale
\boxed{\text{Energia em }(8)=\frac{p_{8}}{\gamma}+z_{8}=60+7=67\\ \mathrm{m}.}

Passo 3

Mini-aula: velocidade média numa tubulação é V=Q/A onde A=\pi D^{2}/4.
Área e velocidade na sucção:
A_{s}=\frac{\pi D_{s}^{2}}{4}=\frac{\pi(0,20)^{2}}{4}=\pi\cdot0,01\approx0,031416\\ \mathrm{m^{2}}.
V_{s}=\frac{Q}{A_{s}}=\frac{0,05}{0,031416}\approx1,5915\\ \mathrm{m/s}.
Área e velocidade no recalque:
A_{r}=\frac{\pi D_{r}^{2}}{4}=\frac{\pi(0,12)^{2}}{4}=\pi\cdot0,0036\approx0,0113097\\ \mathrm{m^{2}}.
V_{r}=\frac{Q}{A_{r}}=\frac{0,05}{0,0113097}\approx4,4218\\ \mathrm{m/s}.
Portanto:
\boxed{V_{s}\approx1,592\\ \mathrm{m/s},\qquad V_{r}\approx4,422\\ \mathrm{m/s}.}

Passo 4

Mini-aula curta: para perdas distribuídas pela Darcy-Weisbach precisamos do fator de atrito f. Para tubulações lisas/turbulentas pode-se usar a fórmula empírica de Blasius (válida em regime turbulento suave) como aproximação:
f\approx\frac{0,3164}{\mathrm{Re}^{0,25}},\qquad \mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}.
Calculo das Reynolds:
Para sucção:
\mathrm{Re}_{s}=\frac{V_{s}D_{s}}{\nu}=\frac{1,5915\cdot0,20}{10^{-6}}\approx3{,}183\times10^{5}.
Para recalque:
\mathrm{Re}_{r}=\frac{V_{r}D_{r}}{\nu}=\frac{4,4218\cdot0,12}{10^{-6}}\approx5{,}307\times10^{5}.
Aplicando Blasius (aproximação adequada para nosso nível de exercícios):
f_{s}\approx\frac{0,3164}{(3{,}183\times10^{5})^{0,25}}\approx0,01333, \qquad f_{r}\approx\frac{0,3164}{(5{,}307\times10^{5})^{0,25}}\approx0,01172.
Também útil: a cabeça de velocidade (termo V^{2}/(2g)):
\frac{V_{s}^{2}}{2g}=\frac{(1,5915)^{2}}{2\cdot9,81}\approx0,1292\\ \mathrm{m}, \qquad \frac{V_{r}^{2}}{2g}=\frac{(4,4218)^{2}}{2\cdot9,81}\approx0,9960\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Fórmula (mini-aula): perda distribuída (Darcy-Weisbach)
h_{f}=f\frac{L}{D}\frac{V^{2}}{2g}.
Peguei do desenho o comprimento total da linha de sucção como L_{s}=10+2+0,5=12{,}5\\ \mathrm{m} (horizontal 10\\ \mathrm{m}, queda vertical 2\\ \mathrm{m}, e o trecho até o cotovelo 0,5\\ \mathrm{m}).
Então
h_{f,s}=f_{s}\frac{L_{s}}{D_{s}}\cdot\frac{V_{s}^{2}}{2g} =0,01333\cdot\frac{12{,}5}{0,20}\cdot0,1292
\frac{12{,}5}{0,20}=62{,}5,\quad 0,01333\cdot62{,}5=0,8333,
h_{f,s}\approx0,8333\cdot0,1292\approx0,1077\\ \mathrm{m}.
Portanto:
\boxed{\text{Perda distribuída na sucção }h_{f,s}\approx0,108\\ \mathrm{m}.}íçã

Passo 6

Mini-aula: perda localizada por elementos (válvulas, cotovelos, etc.) é
h_{L}=\left(\sum k\right)\frac{V^{2}}{2g}.
Na sucção há (conforme imagem): k_{1}=12 (válvula de pé), k_{2}=0,8 (cotovelo) e k_{3}=8 (registro tipo globo próximo à bomba). Soma:
\sum k_{s}=12+0,8+8=20{,}8.
Então
h_{L,s}=20{,}8\cdot\frac{V_{s}^{2}}{2g}=20{,}8\cdot0,1292\approx2,686\\ \mathrm{m}.
Portanto:
\boxed{\text{Perda localizada na sucção }h_{L,s}\approx2,686\\ \mathrm{m}.}çã

Passo 7

Peguei do desenho: comprimento total da linha de recalque L_{r}=6+30=36\\ \mathrm{m} (trecho vertical 6\\ \mathrm{m} + horizontal 30\\ \mathrm{m}). Assim
h_{f,r}=f_{r}\frac{L_{r}}{D_{r}}\frac{V_{r}^{2}}{2g} =0,01172\cdot\frac{36}{0,12}\cdot0,9960.
\frac{36}{0,12}=300,\quad 0,01172\cdot300=3,516,
h_{f,r}\approx3,516\cdot0,9960\approx3,502\\ \mathrm{m}.
Portanto:
\boxed{\text{Perda distribuída no recalque }h_{f,r}\approx3,50\\ \mathrm{m}.}í

Passo 8

Conforme imagem, elementos no recalque: k_{4}=0,6 (válvula de retenção), k_{5}=8 (alargamento brusco), k_{6}=0,8 (cotovelo), k_{7}=1,3 (saída/entrada no reservatório). Soma:
\sum k_{r}=0,6+8+0,8+1,3=10{,}7.
Assim
h_{L,r}=10{,}7\cdot\frac{V_{r}^{2}}{2g}=10{,}7\cdot0,9960\approx10,66\\ \mathrm{m}.
Portanto:
\boxed{\text{Perda localizada no recalque }h_{L,r}\approx10,66\\ \mathrm{m}.}

Passo 9

A perda total na linha (soma de distribuídas + localizadas em sucção e recalque) é
h_{\text{total}}=h_{f,s}+h_{L,s}+h_{f,r}+h_{L,r}.
Substituindo os valores:
h_{\text{total}}\approx0,1077+2,686+3,502+10,66\approx16,956\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
\boxed{h_{\text{total}}\approx16,96\\ \mathrm{m}.}

Passo 10

Mini-aula: a bomba precisa suprir a diferença de energia entre o ponto de sucção (livre do reservatório de sucção) e o ponto 8, mais as perdas ao longo da linha. Para superfícies livres com velocidade desprezível o termo de velocidade é quase zero. Assim a cabeça que a bomba deve fornecer (carga hidráulica) é
H_{b}=\left(\frac{p_{8}}{\gamma}+z_{8}\right)-\left(\frac{p_{0}}{\gamma}+z_{0}\right)+h_{\text{total}},
onde p_{0} e z_{0} são pressão e cota do nível de sucção. O nível de sucção é aberto à atmosfera, logo p_{0}\approx0. Peguei da imagem que o nível de sucção está a z_{0}=+1{,}5\\ \mathrm{m} acima do centro da bomba; já calculámos \frac{p_{8}}{\gamma}+z_{8}=67\\ \mathrm{m}. Então
H_{b}=67-(0+1{,}5)+16{,}956=65{,}5+16{,}956=82{,}456\\ \mathrm{m}.
Potência hidráulica fornecida ao fluido:
P_{h}=\gamma Q H_{b}=10^{4}\cdot0,05\cdot82{,}456=500\cdot82{,}456\approx41228\\ \mathrm{W}\approx41{,}23\\ \mathrm{kW}.
Potência no eixo da bomba (levando em conta eficiência \eta):
P_{\text{eixo}}=\frac{P_{h}}{\eta}=\frac{41228}{0,8}\approx51535\\ \mathrm{W}\approx51{,}54\\ \mathrm{kW}.
Portanto:
\boxed{P_{\text{bomba (eixo)}}\approx51{,}5\\ \mathrm{kW}.}

Resposta

(a) Energia no ponto 8: 67\\ \mathrm{m}.
(b) Velocidade de sucção: V_{s}\approx1,592\\ \mathrm{m/s}.
(c) Perda distribuída na sucção: h_{f,s}\approx0,108\\ \mathrm{m}.
(d) Perda localizada na sucção: h_{L,s}\approx2,686\\ \mathrm{m}.
(e) Velocidade de recalque: V_{r}\approx4,422\\ \mathrm{m/s}.
(f) Perda distribuída no recalque: h_{f,r}\approx3,50\\ \mathrm{m}.
(g) Perda localizada no recalque: h_{L,r}\approx10,66\\ \mathrm{m}.
(h) Perda total: h_{\text{total}}\approx16,96\\ \mathrm{m}.
(i) Potência da bomba (no eixo, \eta=0,8): P_{\text{eixo}}\approx51{,}5\\ \mathrm{kW}.

Exercícios relacionados