Em um pequeno edifício, uma bomba é utilizada para recalcar água de um reservatório subterrâneo para uma caixa de água (
e
) situada no topo do edifício. A tubulação é de PVC, onde a rugosidade (
) é igual à
, o diâmetro é de
( 0,5 polegadas) e a vazão de água é
. Considerando o reservatório subterrâneo com grandes dimensões e aberto para a atmosfera,
, determine:
a) a velocidade do escoamento na tubulação;
b) o número de Reynolds;
c) o coeficiente de perda de carga distribuída;
d) a altura manométrica da bomba (
);
e) a potência mecânica da bomba (em hp), considerando que o seu rendimento é 65%;
a) a velocidade do escoamento na tubulação;
b) o número de Reynolds;
c) o coeficiente de perda de carga distribuída;
d) a altura manométrica da bomba (
e) a potência mecânica da bomba (em hp), considerando que o seu rendimento é 65%;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e todos os dados fornecidos (peguei os valores de altura da imagem enviada).
O enunciado pede:
- (a) a velocidade do escoamento na tubulação;
- (b) o número de Reynolds;
- (c) o coeficiente de perda de carga distribuída (f, fator de atrito de Darcy);
- (d) a altura manométrica da bomba
; - (e) a potência mecânica da bomba (em hp), considerando rendimento
.
Dados fornecidos:
- Vazão volumétrica:
. - Diâmetro da tubulação:
. - Rugosidade absoluta do PVC:
. - Massa específica (densidade):
. - Viscosidade dinâmica:
. - A tubulação liga o reservatório (superfície livre) à caixa no topo do edifício. Da imagem:
- profundidade do reservatório em relação ao solo:
(reservatório 5 m abaixo do plano do solo); - altura da caixa d’água acima do plano do solo:
.
- profundidade do reservatório em relação ao solo:
- Aceleração da gravidade:
. - Rendimento da bomba:
. - Conversão:
.
Observação inicial importante (só identificação dos dados): o escoamento percorre a diferença de cota entre superfície livre do reservatório e a caixa d’água, que é
no total (
). A partir daqui começo a calcular passo a passo.
Passo 2
(a) Calcular a velocidade do escoamento: fórmula de continuidade.
Explicação didática: a equação da continuidade para um tubo de seção constante diz que a vazão volumétrica
é a área da seção transversal
vezes a velocidade média
:
A área da seção circular vale
onde
é o diâmetro interno da tubulação.
Vamos calcular
e depois
.
Cálculo da área:
(Explicação numérica:
. Multiplicando por
obtém-se
.)
Agora a velocidade média:
Comentário didático: essa velocidade é alta porque o diâmetro é pequeno e a vazão relativamente grande; rápida sensação: tubos finos exigem altas velocidades para vazões moderadas.
Passo 3
(b) Calcular o número de Reynolds e interpretar o regime de escoamento.
Explicação didática: o número de Reynolds
é adimensional e indica se o escoamento é laminar ou turbulento. É definido por
onde
é a densidade,
a velocidade média,
o diâmetro e
a viscosidade dinâmica.
Substituindo os valores:
(Explicação numérica:
; multiplicando por
e dividindo por
obtemos
da ordem de
.)
Resultado aproximado:
Interpretação simples: como
, o escoamento é turbulento. Em escoamentos turbulentos a perda de carga depende fortemente da rugosidade relativa e do fator de atrito (não se usa a fórmula laminar).
Passo 4
(c) Determinar o coeficiente de perda de carga distribuída
(fator de Darcy) — escolher método e calcular.
Explicação didática dos métodos: para turbulência em tubulação rugosa o fator
é dado implicitamente pela equação de Colebrook:
Como essa equação é implícita em
, em provas é usual usar uma aproximação explícita (aceitável para cálculo prático), por exemplo a fórmula de Swamee–Jain:
Essa fórmula é uma aproximação explícita da Colebrook, precisa para a maioria dos propósitos.
Calcular a rugosidade relativa e aplicar Swamee–Jain:
Rugosidade relativa:
Calcular o termo dentro do logaritmo:
Somando:
Agora Swamee–Jain:
Calculando o logaritmo e a expressão inteira obtemos:
Interpretação: valor típico para escoamento turbulento em tubo bastante rugoso relativo; f entre 0{,}02 e 0{,}06 é comum em muitas situações com números de Reynolds elevados e rugosidade moderada.
Passo 5
(d) Calcular a perda de carga distribuída
por Darcy–Weisbach e a altura manométrica da bomba
.
Explicação didática da fórmula de Darcy–Weisbach: a perda de carga por atrito ao longo de um tubo é
onde
é o comprimento da tubulação,
o diâmetro,
a velocidade média,
a gravidade e
o fator de atrito (Darcy).
Neste problema tomamos
igual à extensão entre as superfícies livres (aproximação: tubulação essencialmente vertical), ou seja
(Explicação: a figura mostra o trecho do reservatório até a caixa com comprimento vertical total 28 m; como a tubulação é curta e não foram fornecidos comprimentos adicionais de ramais, usamos
.)
Já temos
,
,
. Primeiro calculemos o termo de velocidade (cabeça de velocidade):
Agora o fator geométrico:
Portanto a perda distribuída:
Observação didática: esse valor é enorme — ocorre porque a combinação de tubo muito fino e vazão relativamente alta produz velocidades altas e, via
, perdas muito grandes. Na prática isso indica que um diâmetro tão pequeno é inadequado para essa vazão se se deseja uma bomba de potência razoável.
Agora calcular a altura manométrica requerida pela bomba
.
Explicação do balanço de energia entre superfícies livres (simplificado): para sucção e recalque em reservatórios abertos (pressão atmosférica em ambas as superfícies) e assumindo as velocidades nas superfícies livres desprezíveis (reservatórios de grande área), a cabeça que a bomba deve fornecer é a diferença de cota entre as superfícies livres mais as perdas por atrito:
Aqui
.
Logo:
Passo 6
(e) Calcular a potência mecânica da bomba (em hp) considerando rendimento
.
Explicação didática: a potência hidráulica fornecida ao fluido é
A potência mecânica (potência de eixo, potência elétrica requerida ao motor dividida pelo rendimento da bomba) é
Calculemos
com
,
,
,
:
Agora a potência mecânica na entrada da bomba:
Converter para cavalos-vapor (hp), com
:
Interpretação final rápida: precisa-se de uma bomba muito potente (da ordem de 50 hp) para vencer as enormes perdas de carga provocadas pelo tubo estreito; em projeto prático o correto seria aumentar bastante o diâmetro do tubo para reduzir consideravelmente
e a potência exigida.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)