Em um pequeno edifício, uma bomba é utilizada para recalcar água de um reservatório subterrâneo para uma caixa de água ( \rho=999 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mu=10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s} ) situada no topo do edifício. A tubulação é de PVC, onde a rugosidade ( \varepsilon ) é igual à 0,18 \mathrm{~mm}, o diâmetro é de \frac{1}{2}^{\prime \prime} ( 0,5 polegadas) e a vazão de água é 2 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Considerando o reservatório subterrâneo com grandes dimensões e aberto para a atmosfera, g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} 1^{\prime \prime}=2,54 \mathrm{~cm} 1 \mathrm{hp}=745,7 \mathrm{~W}, determine:
a) a velocidade do escoamento na tubulação;
b) o número de Reynolds;
c) o coeficiente de perda de carga distribuída;
d) a altura manométrica da bomba ( \mathrm{h}_{\mathrm{b}} );
e) a potência mecânica da bomba (em hp), considerando que o seu rendimento é 65%;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e todos os dados fornecidos (peguei os valores de altura da imagem enviada).
O enunciado pede:
  • (a) a velocidade do escoamento na tubulação;
  • (b) o número de Reynolds;
  • (c) o coeficiente de perda de carga distribuída (f, fator de atrito de Darcy);
  • (d) a altura manométrica da bomba \mathrm{h}_{\mathrm{b}};
  • (e) a potência mecânica da bomba (em hp), considerando rendimento \eta=65\%.
Dados fornecidos:
  • Vazão volumétrica: Q=2\\ \mathrm{L/s}=0{,}002\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Diâmetro da tubulação: D=\tfrac{1}{2}''=0{,}5\\ \text{polegadas}=0{,}0127\\ \mathrm{m}.
  • Rugosidade absoluta do PVC: \varepsilon=0{,}18\\ \mathrm{mm}=0{,}00018\\ \mathrm{m}.
  • Massa específica (densidade): \rho=999\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Viscosidade dinâmica: \mu=10^{-3}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
  • A tubulação liga o reservatório (superfície livre) à caixa no topo do edifício. Da imagem:
    • profundidade do reservatório em relação ao solo: 5\\ \mathrm{m} (reservatório 5 m abaixo do plano do solo);
    • altura da caixa d’água acima do plano do solo: 23\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Rendimento da bomba: \eta=0{,}65.
  • Conversão: 1\\ \mathrm{hp}=745{,}7\\ \mathrm{W}.
Observação inicial importante (só identificação dos dados): o escoamento percorre a diferença de cota entre superfície livre do reservatório e a caixa d’água, que é 28\\ \mathrm{m} no total ( 5+23). A partir daqui começo a calcular passo a passo.

Passo 2

(a) Calcular a velocidade do escoamento: fórmula de continuidade.
Explicação didática: a equação da continuidade para um tubo de seção constante diz que a vazão volumétrica Q é a área da seção transversal A vezes a velocidade média v:
Q = A\,v.
A área da seção circular vale
A = \frac{\pi D^{2}}{4},
onde D é o diâmetro interno da tubulação.
Vamos calcular A e depois v.
Cálculo da área:
A = \frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi\,(0{,}0127)^2}{4}.
(Explicação numérica: 0{,}0127^2=0{,}00016129. Multiplicando por \pi/4 obtém-se A\approx0{,}0001267\\ \mathrm{m^2}.)
Agora a velocidade média:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}002}{0{,}0001267}\approx 15{,}79\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: essa velocidade é alta porque o diâmetro é pequeno e a vazão relativamente grande; rápida sensação: tubos finos exigem altas velocidades para vazões moderadas.

Passo 3

(b) Calcular o número de Reynolds e interpretar o regime de escoamento.
Explicação didática: o número de Reynolds \mathrm{Re} é adimensional e indica se o escoamento é laminar ou turbulento. É definido por
\mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu},
onde \rho é a densidade, v a velocidade média, D o diâmetro e \mu a viscosidade dinâmica.
Substituindo os valores:
\mathrm{Re}=\frac{999\cdot 15{,}79\cdot 0{,}0127}{10^{-3}}.
(Explicação numérica: 15{,}79\cdot 0{,}0127\approx 0{,}200; multiplicando por 999 e dividindo por 10^{-3} obtemos \mathrm{Re} da ordem de 2,00\times10^{5}.)
Resultado aproximado:
\mathrm{Re}\approx 2{,}00\cdot10^{5}.
Interpretação simples: como \mathrm{Re}\gg 4000, o escoamento é turbulento. Em escoamentos turbulentos a perda de carga depende fortemente da rugosidade relativa e do fator de atrito (não se usa a fórmula laminar).

Passo 4

(c) Determinar o coeficiente de perda de carga distribuída f (fator de Darcy) — escolher método e calcular.
Explicação didática dos métodos: para turbulência em tubulação rugosa o fator f é dado implicitamente pela equação de Colebrook:
\frac{1}{\sqrt{f}}=-2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}+\frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right).
Como essa equação é implícita em f, em provas é usual usar uma aproximação explícita (aceitável para cálculo prático), por exemplo a fórmula de Swamee–Jain:
f=0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.
Essa fórmula é uma aproximação explícita da Colebrook, precisa para a maioria dos propósitos.
Calcular a rugosidade relativa e aplicar Swamee–Jain:
Rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{0{,}00018}{0{,}0127}\approx 0{,}01417.
Calcular o termo dentro do logaritmo:
\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}\approx\frac{0{,}01417}{3{,}7}\approx 0{,}00383,
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\\ \text{(com }\mathrm{Re}\approx2{,}00\cdot10^{5}\text{)}\approx 9{,}7\cdot10^{-5}.
Somando:
\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 0{,}00393.
Agora Swamee–Jain:
f=0{,}25\left[\log_{10}(0{,}00393)\right]^{-2}.
Calculando o logaritmo e a expressão inteira obtemos:
f\approx 0{,}0432.
Interpretação: valor típico para escoamento turbulento em tubo bastante rugoso relativo; f entre 0{,}02 e 0{,}06 é comum em muitas situações com números de Reynolds elevados e rugosidade moderada.

Passo 5

(d) Calcular a perda de carga distribuída h_f por Darcy–Weisbach e a altura manométrica da bomba \mathrm{h_b}.
Explicação didática da fórmula de Darcy–Weisbach: a perda de carga por atrito ao longo de um tubo é
h_{f}=f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^{2}}{2g},
onde L é o comprimento da tubulação, D o diâmetro, v a velocidade média, g a gravidade e f o fator de atrito (Darcy).
Neste problema tomamos L igual à extensão entre as superfícies livres (aproximação: tubulação essencialmente vertical), ou seja
L \approx 5\\ \mathrm{m} + 23\\ \mathrm{m} = 28\\ \mathrm{m}.
(Explicação: a figura mostra o trecho do reservatório até a caixa com comprimento vertical total 28 m; como a tubulação é curta e não foram fornecidos comprimentos adicionais de ramais, usamos L=28\\ \mathrm{m}.)
Já temos f\approx0{,}0432, D=0{,}0127\\ \mathrm{m}, v\approx15{,}79\\ \mathrm{m/s}. Primeiro calculemos o termo de velocidade (cabeça de velocidade):
\frac{v^{2}}{2g}=\frac{(15{,}79)^2}{2\cdot 9{,}8}\approx 12{,}7\\ \mathrm{m}.
Agora o fator geométrico:
\frac{L}{D}=\frac{28}{0{,}0127}\approx 2204{,}7.
Portanto a perda distribuída:
h_{f}=0{,}0432\cdot 2204{,}7\cdot 12{,}7\approx 1{,}21\times 10^{3}\\ \mathrm{m}.
Observação didática: esse valor é enorme — ocorre porque a combinação de tubo muito fino e vazão relativamente alta produz velocidades altas e, via \frac{L}{D}, perdas muito grandes. Na prática isso indica que um diâmetro tão pequeno é inadequado para essa vazão se se deseja uma bomba de potência razoável.
Agora calcular a altura manométrica requerida pela bomba \mathrm{h_b}.
Explicação do balanço de energia entre superfícies livres (simplificado): para sucção e recalque em reservatórios abertos (pressão atmosférica em ambas as superfícies) e assumindo as velocidades nas superfícies livres desprezíveis (reservatórios de grande área), a cabeça que a bomba deve fornecer é a diferença de cota entre as superfícies livres mais as perdas por atrito:
\mathrm{h_b} = z_{\text{saída}} - z_{\text{entrada}} + h_{f}.í
Aqui z_{\text{saída}}-z_{\text{entrada}}=23+5=28\\ \mathrm{m}í.
Logo:
\mathrm{h_b}=28{,}0 + 1{,}21\times10^{3}\approx 1{,}24\times10^{3}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

(e) Calcular a potência mecânica da bomba (em hp) considerando rendimento \eta=65\%.
Explicação didática: a potência hidráulica fornecida ao fluido é
P_{\text{hid}}=\rho g Q \,\mathrm{h_b}.
A potência mecânica (potência de eixo, potência elétrica requerida ao motor dividida pelo rendimento da bomba) é
P_{\text{mec}}=\frac{P_{\text{hid}}}{\eta}.
Calculemos P_{\text{hid}} com \rho=999\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, Q=0{,}002\\ \mathrm{m^3/s}, \mathrm{h_b}\approx 1{,}24\times10^{3}\\ \mathrm{m}:
P_{\text{hid}}=999\cdot 9{,}8\cdot 0{,}002\cdot 1{,}24\times10^{3}\\ \mathrm{W}\approx 2{,}43\times10^{4}\\ \mathrm{W}.
Agora a potência mecânica na entrada da bomba:
P_{\text{mec}}=\frac{2{,}43\times10^{4}}{0{,}65}\approx 3{,}74\times10^{4}\\ \mathrm{W}.
Converter para cavalos-vapor (hp), com 1\\ \mathrm{hp}=745{,}7\\ \mathrm{W}:
P_{\text{mec}}(\mathrm{hp})=\frac{3{,}74\times10^{4}}{745{,}7}\approx 50{,}2\\ \mathrm{hp}.
Interpretação final rápida: precisa-se de uma bomba muito potente (da ordem de 50 hp) para vencer as enormes perdas de carga provocadas pelo tubo estreito; em projeto prático o correto seria aumentar bastante o diâmetro do tubo para reduzir consideravelmente h_{f} e a potência exigida.

Resposta

(a) v\approx 15{,}79\\ \mathrm{m/s}
(b) \mathrm{Re}\approx 2{,}00\cdot10^{5}
(c) f\approx 0{,}0432
(d) \mathrm{h_{b}}\approx 1{,}24\cdot10^{3}\\ \mathrm{m}
(e) P_{\text{mec}}\approx 50{,}2\\ \mathrm{hp}

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