Obtenha, diretamente das equações, um ponto e um vetor diretor da reta dada.
\frac{x-3}{2}=\frac{1-y}{4}=z+5

Passo 1

O enunciado dá a reta na forma simétrica
\frac{x-3}{2}=\frac{1-y}{4}=z+5.
O que o enunciado pede: obter, diretamente das equações, um ponto pertencente à reta e um vetor diretor da reta. As informações relevantes são as três razões iguais acima.

Passo 2

Método: é padrão introduzir um parâmetro (digamos t) igual àquela quantidade comum, isto é,
\frac{x-3}{2}=\frac{1-y}{4}=z+5=t.
Agora resolvemos cada igualdade para x, y e z em função de t.

Passo 3

Resolver cada expressão:
\frac{x-3}{2}=t \quad\Rightarrow\quad x-3=2t \quad\Rightarrow\quad x=3+2t.
\frac{1-y}{4}=t \quad\Rightarrow\quad 1-y=4t \quad\Rightarrow\quad y=1-4t.
z+5=t \quad\Rightarrow\quad z=t-5.
Portanto a parametrização da reta é
(x,y,z)=(3+2t,\;1-4t,\; -5+t).

Passo 4

Como ler um ponto a partir da parametrização: basta escolher um valor conveniente de t. O valor mais simples é t=0. Substituindo t=0 obtemos
x(0)=3,\qquad y(0)=1,\qquad z(0)=-5.
Logo um ponto da reta é (3,1,-5).

Passo 5

Como obter o vetor diretor: os coeficientes de t na parametrização são exatamente as componentes do vetor que indica a direção da reta. Da expressão (3+2t,\;1-4t,\;-5+t) vê‑se que esses coeficientes são 2, -4 e 1. Uma forma explícita de ver isso é calcular a diferença entre a posição em t=1 e em t=0:
(3+2,\;1-4,\;-5+1)-(3,1,-5)=(2,-4,1).

Passo 6

Verificação rápida (substituição): usando x=3+2t, y=1-4t, z=t-5,
\frac{x-3}{2}=\frac{3+2t-3}{2}=t,\qquad \frac{1-y}{4}=\frac{1-(1-4t)}{4}=\frac{4t}{4}=t,\qquad z+5=(t-5)+5=t,
portanto a parametrização satisfaz as três igualdades originais.

Resposta

Ponto: (3,1,-5)
Vetor diretor: (2,-4,1)

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