Obtenha, diretamente das equações, um ponto e um vetor diretor da reta dada.
\frac{2-x}{8}=\frac{2 y+4}{5}=\frac{z-1}{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a reta por meio da igualdade
\frac{2-x}{8}=\frac{2y+4}{5}=\frac{z-1}{2}.
O que é pedido: obter, diretamente das equações, um ponto pertencente à reta e um vetor diretor da reta.
Informações dadas: as três expressões acima são iguais a um mesmo número (um mesmo parâmetro desconhecido).

Passo 2

Ideia prática (sem nomear teoria aqui): quando três frações assim são iguais, é comum introduzir um parâmetro t que representa esse valor comum. Ou seja, definir
\frac{2-x}{8}=\frac{2y+4}{5}=\frac{z-1}{2}=t.
Isso transforma as equações simétricas em três equações paramétricas (cada uma em função de t).

Passo 3

A partir de t isolamos x, y e z. Escrevendo cada igualdade:
\frac{2-x}{8}=t \quad\Rightarrow\quad 2-x=8t \quad\Rightarrow\quad x=2-8t.
\frac{2y+4}{5}=t \quad\Rightarrow\quad 2y+4=5t \quad\Rightarrow\quad 2y=5t-4 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{5}{2}t-2.
\frac{z-1}{2}=t \quad\Rightarrow\quad z-1=2t \quad\Rightarrow\quad z=1+2t.
Portanto a forma paramétrica da reta é
x=2-8t,\qquad y=-2+\frac{5}{2}t,\qquad z=1+2t.

Passo 4

Explicar como extrair o ponto: escolher um valor conveniente de t fornece um ponto da reta. O valor mais simples é t=0 (porque anula os termos em t), daí:
x(0)=2,\qquad y(0)=-2,\qquad z(0)=1.
Logo o ponto (2,-2,1) pertence à reta. (Na prova dá para justificar dizendo que ao pôr t=0 as equações paramétricas dão as coordenadas do ponto.)

Passo 5

Explicar como extrair o vetor diretor: o vetor diretor é o coeficiente do parâmetro t nas expressões paramétricas, ou seja o vetor formado pelos coeficientes que multiplicam t em (x,y,z). Da forma
x=2-8t,\quad y=-2+\frac{5}{2}t,\quad z=1+2t,
os coeficientes de t são -8, \tfrac{5}{2} e 2. Assim um vetor diretor é
\vec{v}=(-8,\tfrac{5}{2},2).
Costuma-se preferir componentes inteiras; multiplicando \vec{v} por 2 obtém-se um vetor equivalente (mesma direção):
\vec{v}'=(-16,5,4),
que também é um vetor diretor da reta. Lembre: qualquer múltiplo escalar diferente de zero de um vetor diretor é também vetor diretor.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): substituindo o ponto (2,-2,1) nas frações do enunciado obtemos
\frac{2-2}{8}=0,\qquad \frac{2(-2)+4}{5}=0,\qquad \frac{1-1}{2}=0,
ou seja as três frações coincidem em 0, confirmando que o ponto está realmente na reta. Também é trivial ver que, ao deslocar o ponto por uma quantidade t na direção \vec{v}', recuperam-se as expressões paramétricas.

Resposta

Ponto: (2,-2,1)
Vetor diretor: (-16,5,4)

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