Obtenha, diretamente das equações, um ponto e um vetor diretor da reta dada.
Passo 1
O enunciado nos dá a reta por meio da igualdade
O que é pedido: obter, diretamente das equações, um ponto pertencente à reta e um vetor diretor da reta.
Informações dadas: as três expressões acima são iguais a um mesmo número (um mesmo parâmetro desconhecido).
Informações dadas: as três expressões acima são iguais a um mesmo número (um mesmo parâmetro desconhecido).
Passo 2
Ideia prática (sem nomear teoria aqui): quando três frações assim são iguais, é comum introduzir um parâmetro
que representa esse valor comum. Ou seja, definir
Isso transforma as equações simétricas em três equações paramétricas (cada uma em função de
).
Passo 3
A partir de
isolamos
,
e
. Escrevendo cada igualdade:
Portanto a forma paramétrica da reta é
Passo 4
Explicar como extrair o ponto: escolher um valor conveniente de
fornece um ponto da reta. O valor mais simples é
(porque anula os termos em
), daí:
Logo o ponto
pertence à reta. (Na prova dá para justificar dizendo que ao pôr
as equações paramétricas dão as coordenadas do ponto.)
Passo 5
Explicar como extrair o vetor diretor: o vetor diretor é o coeficiente do parâmetro
nas expressões paramétricas, ou seja o vetor formado pelos coeficientes que multiplicam
em
. Da forma
os coeficientes de
são
,
e
. Assim um vetor diretor é
Costuma-se preferir componentes inteiras; multiplicando
por
obtém-se um vetor equivalente (mesma direção):
que também é um vetor diretor da reta. Lembre: qualquer múltiplo escalar diferente de zero de um vetor diretor é também vetor diretor.
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): substituindo o ponto
nas frações do enunciado obtemos
ou seja as três frações coincidem em
, confirmando que o ponto está realmente na reta. Também é trivial ver que, ao deslocar o ponto por uma quantidade
na direção
, recuperam-se as expressões paramétricas.
Resposta
Ponto:
Vetor diretor:
Vetor diretor: