Verifique se os vetores u=(6,2,3,4), v=(0,5,-3,1) e w=(0,0,7,-2) são LI ou LD .

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^4:
u=(6,2,3,4), v=(0,5,-3,1), w=(0,0,7,-2)
e pede para verificar se eles são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso, usaremos a definição: são LI se a combinação
alpha u+beta v+gamma w=0 só admite a solução trivial alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear alpha u+beta v+gamma w=0 coordenada a coordenada, obtemos o sistema
6alpha + 0beta + 0gamma = 0, 2alpha + 5beta + 0gamma = 0, 3alpha - 3beta + 7gamma = 0, 4alpha + beta - 2gamma = 0

Passo 3

Da primeira equação segue
6alpha=0Rightarrowalpha=0
Substituindo alpha=0 na segunda vem
5beta=0Rightarrowbeta=0
Com alpha=beta=0 a terceira dá
7gamma=0Rightarrowgamma=0
Por fim, a quarta equação reduz-se a 0=0, mostrando que não há contradição.

Passo 4

Como a única solução do sistema é alpha=beta=gamma=0, concluímos que u, v e w são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores u, v e w são linearmente independentes.

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