Em , mostre o conjunto é linearmente independente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto formado por
é linearmente independente em , o espaço das polinômios de grau no máximo 2. Para isso, vamos usar o critério de dependência linear: se
só tiver a solução trivial , então o conjunto é independente.
Passo 2
Formamos a combinação linear e expandimos cada termo:
Passo 3
Agrupando os coeficientes de , de e de , fica
Como o lado direito é o polinômio nulo, cada coeficiente deve ser zero. Isso gera o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema: da segunda equação vem beta=-alpha e da primeira gamma=-alpha. Substituindo na terceira:
beta+gamma = -alpha +(-alpha) = -2alpha = 0
logo alpha=0. Daí beta=-alpha=0 e gamma=-alpha=0.
Resposta
O único vetor de coeficientes que anula a combinação é alpha=beta=gamma=0. Portanto, 1+x,;x+x^2,;1+x^2 é linearmente independente em P2.