Em P2, mostre o conjunto 1+x, x+x^2, 1+x^2 é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto formado por
,1+x,;x+x^2,;1+x^2
é linearmente independente em P2, o espaço das polinômios de grau no máximo 2. Para isso, vamos usar o critério de dependência linear: se
alpha(1+x)+beta(x+x^2)+gamma(1+x^2)=0
só tiver a solução trivial alpha=beta=gamma=0, então o conjunto é independente.

Passo 2

Formamos a combinação linear e expandimos cada termo:
alpha(1+x)+beta(x+x^2)+gamma(1+x^2) =alpha+alpha x+beta x+beta x^2+gamma+gamma x^2

Passo 3

Agrupando os coeficientes de 1, de x e de x^2, fica
(alpha+gamma);+;(alpha+beta),x;+;(beta+gamma),x^2 ;=;0
Como o lado direito é o polinômio nulo, cada coeficiente deve ser zero. Isso gera o sistema
alpha+gamma=0, alpha+beta=0, beta+gamma=0

Passo 4

Resolvendo o sistema: da segunda equação vem beta=-alpha e da primeira gamma=-alpha. Substituindo na terceira:
beta+gamma = -alpha +(-alpha) = -2alpha = 0
logo alpha=0. Daí beta=-alpha=0 e gamma=-alpha=0.

Resposta

O único vetor de coeficientes que anula a combinação é alpha=beta=gamma=0. Portanto, 1+x,;x+x^2,;1+x^2 é linearmente independente em P2.

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