Dados u=(2,-1,0), v=(3,1,1), w=(1,4,5), calcular (u times v) times w e u cdot (v times w).

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u=(2,-1,0), v=(3,1,1) e w=(1,4,5).
Pede dois cálculos: o produto vetorial (utimesv)timesw e o produto misto ucdot(vtimesw).
Para isso, vamos usar a definição de produto vetorial pela matriz 3times 3 e a identidade vetorial
(atimesb)timesc =b,(acdotc)-a,(bcdotc),
além da definição de produto misto como determinante.

Passo 2

Calculamos primeiro utimesv usando a regra de Sarrus:
utimesv = i&j&k 2&-1&0 3&1&1 =il((-1)cdot1-0cdot1r) -jl(2cdot1-0cdot3r) +kl(2cdot1-(-1)cdot3r)
Logo,
utimesv =( -1,;-2,;2+3) =(-1,,-2,,5)

Passo 3

Para usar a identidade do triplo produto vetorial, precisamos de ucdotw e vcdotw:
ucdotw =2cdot1+(-1)cdot4+0cdot5 =2-4 =-2,
vcdotw =3cdot1+1cdot4+1cdot5 =3+4+5 =12

Passo 4

Aplicando
(utimesv)timesw =v,(ucdotw)-u,(vcdotw),
temos
(utimesv)timesw =v,(-2)-u,(12) =-2,(3,1,1)-12,(2,-1,0)
Isso dá
(-6,-2,-2)+(-24,12,0) =(-30,10,-2)

Passo 5

Agora calculamos vtimesw para usar no produto misto:
vtimesw = i&j&k 3&1&1 1&4&5 =i(1cdot5-1cdot4) -j(3cdot5-1cdot1) +k(3cdot4-1cdot1)
Logo,
vtimesw =(5-4,;-(15-1),;12-1) =(1,;-14,;11)

Passo 6

Finalmente, o produto misto é
ucdot(vtimesw) = (2,-1,0)cdot(1,-14,11) =2cdot1+(-1)cdot(-14)+0cdot11 =2+14 =16

Resposta

(utimesv)timesw=(-30,,10,,-2) ucdot(vtimesw)=16

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