Nos exercícios 53 a 56 , determine o vetor coordenada de em relação à base do .
53)
54)
55)
56)
57) Sejam e bases do .
a) Escreva as coordenadas do vetor em relação às bases e .
b) Obtenha as matrizes de mudança de base e .
c) As coordenadas de um vetor em relação à base são dadas por . Obtenha as coordenadas de em relação às bases e .
Passo 1
O enunciado pede para expressar vetores em coordenas de diferentes bases de . Primeiro, nos exercícios a queremos as coordenadas de em quatro bases distintas. Depois, no exercício , temos três bases e vamos: . (a) achar as coordenadas de nessas bases; . (b) montar as matrizes de mudança de base ; . (c) dado , encontrar e .
Para tudo isso, o método é sempre escrever
e resolver para , que serão as coordenadas de na base .
Passo 2
Exercícios e são casos triviais de permutação ou base canônica. Se é a base padrão , então as coordenadas de são diretamente . Se trocamos a ordem para , então a primeira coordenada multiplica e a segunda .
Passo 3
Exercícios
isto é
Resolvendo, somamos as duas equações: . Substituindo em fica , logo e então .
Para , . Queremos tais que
ou seja
Passo 4
Exercício
Somando: . Logo .
C) . Queremos com
Assim .
Passo 5
Exercício
– Vetor :
Logo
Para basta inverter essa matriz. Como ,
Para , colunas são e em base , ou seja
]
Passo 6
Exercício 57(c): temos uB=(4,0). Para uA, usamos MB^A:
uA = MB^A,uB = -1 & 11 & 140 = -44
Para uC, podemos primeiro achar u em A e depois mudar para C com (MC^A)^-1=MA^C. Como MC^A=2I, sua inversa é tfrac12I. Logo