Nos exercícios 53 a 56 , determine o vetor coordenada de v=(6,2) em relação à base B do R^2.
53) B=(1,0),(0,1)
54) B=(0,1),(1,0)
55) B=(1,2),(2,1)
56) B=(3,0),(0,2)
57) Sejam A=(1,0),(0,1), B=(-1,1),(1,1) e C=(2,0),(0,2) bases do R^2.
a) Escreva as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação às bases A, B e C.
b) Obtenha as matrizes de mudança de base MA^B, MB^A e MC^A.
c) As coordenadas de um vetor u em relação à base B são dadas por uB=(4,0). Obtenha as coordenadas de u em relação às bases A e C.

Passo 1

O enunciado pede para expressar vetores em coordenas de diferentes bases de R^2. Primeiro, nos exercícios 53 a 56 queremos as coordenadas de v=(6,2) em quatro bases distintas. Depois, no exercício 57, temos três bases A,B,C e vamos:
1. (a) achar as coordenadas de v=(3,-2) nessas bases;
2. (b) montar as matrizes de mudança de base MA^B,MB^A,MC^A;
3. (c) dado uB=(4,0), encontrar uA e uC.
Para tudo isso, o método é sempre escrever
v = x,b1 + y,b2
e resolver para (x,y), que serão as coordenadas de v na base B=b1,b2.

Passo 2

Exercícios 53 e 54 são casos triviais de permutação ou base canônica. Se B é a base padrão (1,0),(0,1), então as coordenadas de (6,2) são diretamente (6,2). Se trocamos a ordem para (0,1),(1,0), então a primeira coordenada multiplica (0,1) e a segunda (1,0).

Passo 3

Exercícios
isto é
Resolvendo, somamos as duas equações: . Substituindo em fica , logo e então .
Para , . Queremos tais que
ou seja

Passo 4

Exercício
Somando: . Logo .
C) . Queremos com
Assim .

Passo 5

Exercício
– Vetor :
Logo
Para basta inverter essa matriz. Como
,
Para , colunas são e em base , ou seja
]

Passo 6

Exercício 57(c): temos uB=(4,0). Para uA, usamos MB^A:
uA = MB^A,uB = -1 & 11 & 140 = -44
Para uC, podemos primeiro achar u em A e depois mudar para C com (MC^A)^-1=MA^C. Como MC^A=2I, sua inversa é tfrac12I. Logo
uC = MA^C,uA = tfrac12 I -44 = -22

Resposta

53) (6,2) 54) (2,6) 55) l(-tfrac23,tfrac103r) 56) (2,1) 57(a)
vA=(3,-2), vB=l(-tfrac52,tfrac12r), vC=(tfrac32,-1).
57(b)
MA^B=-tfrac12 & tfrac12[3pt]tfrac12 & tfrac12, MB^A=-1 & 11 & 1, MC^A=2 & 00 & 2
57(c)
uA=(-4,4), uC=(-2,2).]

Exercícios relacionados