5-) Uma turbina modelo de 390 mm de diâmetro desenvolve 9 kW de potência, com um rendimento de 70 \%, a uma velocidade de rotação de 1500 rpm , sob uma queda de 10 m . Uma turbina geometricamente semelhante, de 1950 mm de diâmetro, operará sob uma queda de 40 m . Que valores serão esperados para a velocidade de rotação e para a potência dessa turbina, levando em consideração o efeito de escala sobre o rendimento?

Passo 1

O enunciado dá uma turbina‐modelo de diâmetro D_1=0{,}39\rm\,m que, sob altura de queda H_1=10\rm\,m, gira a N_1=1500\rm\,rpm e entrega potência útil P_1=9\rm\,kW com rendimento \eta_1=70\%. Queremos, para uma turbina geometricamente semelhante de D_2=1{,}95\rm\,m e H_2=40\rm\,m, a velocidade N_2 e a potência P_2, incluindo a variação de rendimento por efeito de escala.
Conteúdo usado: leis de similaridade em turbomáquinas
\frac{N D}{\sqrt{H}}=\text{constante},\quad \frac{P}{D^2\,H^{3/2}}\propto \eta
e modelo de perdas viscosas em função do número de Reynolds, admitindo
1-\eta\propto Re^{-n},\quad n\approx0{,}2.

Passo 2

Pela semelhança hidrodinâmica mantém‐se
\frac{N_1D_1}{\sqrt{H_1}}=\frac{N_2D_2}{\sqrt{H_2}}
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N_2 = N_1\;\sqrt{\frac{H_2}{H_1}}\;\frac{D_1}{D_2} =1500\;\sqrt{\frac{40}{10}}\;\frac{0{,}39}{1{,}95} =1500\;\times2\;\times0{,}2 =600\rm\;rpm.

Passo 3

Estimamos a variação de rendimento pelo número de Reynolds. A velocidade característica é
U_i=\pi\,D_i\,\frac{N_i}{60},
então
\frac{Re_2}{Re_1} =\frac{U_2D_2}{U_1D_1} =\frac{\bigl(\pi\,D_2\,\tfrac{N_2}{60}\bigr)\,D_2} {\bigl(\pi\,D_1\,\tfrac{N_1}{60}\bigr)\,D_1} =10.
Com 1-\eta\sim Re^{-0,2} vem
1-\eta_2 =(1-\eta_1)\Bigl(\frac{Re_1}{Re_2}\Bigr)^{0,2} =0{,}30\times10^{-0,2}\approx0{,}30\times0{,}631=0{,}1893,
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\eta_2\approx1-0{,}1893=0{,}8107\quad(81{,}1\%).

Passo 4

A potência útil escala como
P\propto D^2\,H^{3/2}\,\eta
Portanto
\frac{P_2}{P_1} =\Bigl(\frac{D_2}{D_1}\Bigr)^2 \Bigl(\frac{H_2}{H_1}\Bigr)^{3/2} \frac{\eta_2}{\eta_1} =5^2 \times4^{3/2}\times\frac{0{,}8107}{0{,}70} =25\times8\times1{,}1581\approx231{,}6,
e
P_2\approx231{,}6\times9\rm\,kW\approx2084\rm\,kW.

Resposta

N_2\approx600\rm\,rpm P_2\approx2084\rm\,kW (com rendimento \eta_2\approx81{,}1\%)

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